Решайте с нами!
Решайте с нами! Решайте, как мы! Решайте лучше нас!
В этом разделе будем публиковать ссылки на заметки, посвящённые решению задач, обсуждение решений которых проводится под девизом, вынесенным в заголовок.
09.06.2017 Иррациональное уравнение, или Метод велосипеда против метода танка
13.06.2017. Метод танка или … (с уточнением от внимательного читателя и с добавлением 18.02.2018 от Соловьёва С.П., Калуга, лицей № 48)
13.06.2017. Метод интервалов для непрерывных функций, или Поучительные нестрогие неравенства
14.09.2017. Докажем неравенство методом математической индукции или «по-нашему, по-неучёному»?
15.09.2017. Отсечённые треугольники и пирамиды
26.09.2017. Вневписанные окружности
19.10.2017. Ох уж эти олимпиадные задачи для пятиклассников в сентябре-октябре!
30.10.2017. Кто разбил окно? Логическая задача
16.11.2017. Конкурс по решению финансовых задач для учащихся 5-6 классов
19.11.2017. Тригонометрическое уравнение с модулем
01.01.2018. Задачи про возраст и не только . 6-7 классы.
01.01.2018. Новогоднее уравнение и рассуждения с числовыми значениями
02.01.2018. Задачи про возраст и книги на полках, решаемые арифметическим способом
02.02.2018. Метод подобия при решении текстовых задач
03.01.2018. Задачи на проценты, про козу и корову
08.02.2018. Как не получить ответ в задаче, не имеющей решения (опубликовано в журнале «Математика для школьников», № 1 за 2018 г.)
06.04.2018. Параметры. От простого к сложному (Из переписки с коллегой по поводу сложных задач на параметры.)
08.04.2018. Параметры. Надо ли проверять единственность решения
08.05.2018. Параметры. Конкурсная задача про арксинус и 14-угольник
29.10.2018. Давненько мы не решали системы
27.04.2019. Показательное неравенство с оценкой произведения логарифмов
01.05.2019. Прямоугольный треугольник
12.05.2019. Из домашней работы физматшколы. 7 класс
17.05.2019. Три задачи по геометрии (М.А.Куканов, А.В.Шевкин)
17.05.2019. Потому что на 10 девчонок по статистике… 8 ребят Две задачи на проценты.
14.12.2019. Сложные задачи на дроби После изучения всех действий с дробями. Дополнительный пункт после п. 4.12 по учебнику С.М.Никольского и др.
25.01.2020. Красивые задачи по геометрии. Площади. «Луночки» Гиппократа, Равенство 2S = a + b + c — d для площади S треугольника и площадей криволинейных фигур a, b, c, d.
01.02.2020. Давненько мы не брали в руки шашек, или Уравнение для любителей головоломок Уравнение с логарифмом, тригонометрией, корнем и модулем.
25.02.2020. Занимательные задачи для 5-6 классов.
27.02.2020. Чёрно-белые разности Занимательные задачи по геометрии
27.05.2020. Задачи на правильные многоугольники
27.05.2020. Задачи на прямоугольный тетраэдр
07.06.2020. Задачи про центроиды треугольников и тетраэдров
20.06.2020. Две задачи на переливания
21.06.2020. Обобщение задачи на площади
21.07.2020. Решаем задачи про окружности
07.09.2020. На лицо ужасные, добрые внутри. Неравенства с логарифмами, корнями, степенями. Уравнение с параметром.
31.12.2020 Вокруг задачи из учебника геометрии Равнобедренные треугольники, внешний угол треугольника…
Далее приведены ответы на наиболее интересные вопросы посетителей сайта, полученные по адресу avshevkin@mail.ru или через гостевую книгу сайта.
Задачи из учебников, дидактических материалов к учебникам серии «МГУ–школе», Математика 5, дидактические материалы (М.К. Потапов, А.В. Шевкин), Математика 6 (С.М. Никольский и др.)
941. Арбуз массой 20 кг содержал 99 % воды. Когда он немного усох, то стал содержать 98 % воды. Какова теперь масса арбуза? Решение.
1043. Земной шар стянули обручем по экватору. Затем увеличили обруч на 1 м. Пролезет ли кошка в образовавшийся зазор? Решение.
Алгебра 8 (С.М. Никольский и др., 2014)
18. Солдат построили не по росту, но с четким разделением на ряды и колонки. В каждом ряду выбрали самого высокого, а из всех высоких — самого низкого. В каждой колонке выбрали самого низкого, а из всех низких — самого высокого. Кто выше ростом: самый низкий из высоких или самый высокий из низких? Решение.
922. Брат и сестра собирали малину в двухлитровые бидоны. Брат собирал ягоды быстрее сестры. Через некоторое время он решил ей помочь и поменялся с ней бидонами. Момент для обмена бидонами был выбран удачно — ребята наполнили их ягодами одновременно. Сколько литров ягод они набрали вместе до того, как поменялись бидонами? Решение.
996. Задача конкурсного экзамена (Финансовая академия). Бассейн начали заполнять водой с помощью насоса. После того, как треть бассейна была заполнена, насос поработал еще минуту и сломался. Оставшаяся часть бассейна заполнялась с помощью запасного насоса, имеющего меньшую мощность. Известно, что первая треть бассейна заполнилась на 10 минут быстрее второй, а вторая — на 10 минут быстрее третьей. За какое время наполнилась первая треть бассейна? Решение.
997. (Из книги АРИФМЕТИКА ПОМОГАЕТ АЛГЕБРЕ В.И. Романовского). Друзья Томаса Эдисона удивлялись, почему калитка перед его домом открывается с трудом. «Калитка отрегулирована так, как надо, — смеясь отвечал Эдисон; — я сделал от нее привод к насосу, и каждый входящий накачивает в цистерну 20 л воды». Если бы каждый посетитель накачивал на 5 л больше, то для заполнения цистерны понадобилось бы на 12 человек меньше. Какова ёмкость цистерны? Решение.
Алгебра и начала математического анализа 10 (С.М. Никольский и др.)


Задачи из других источников
Задача. Один говорит другому: «Дай мне 7 динариев, и я буду в 5 раз богаче тебя». А другой говорит: «Дай мне 5 динариев, и я буду в 7 раз богаче тебя». Сколько денег у каждого? (См. аналогичные задачи 1272-1275: С.М. Никольский и др., Математика, 6, 2013-2014). Решение.
Задача. ABCD — квадрат, О — точка пересечения его диагоналей. Отрезок MO перпендикулярен плоскости ABC. F — середина AB. Сторона квадрата равна 4. MO = 2V3 (2 корня из 3) . Надо найти угол между прямой FD и плоскостью DMC. Решение.

Задача А. Эйнштейна
- Есть 5 домов пяти цветов.
- В каждом доме живет один человек: немец, англичанин, швед, датчанин и норвежец.
- Каждый пьет только один определенный напиток, курит определенную марку сигарет и держит определенное животное.
- Никакие два человека из этих пяти не пьют одинаковые напитки, не курят одинаковые сигареты и не держат одинаковых животных.
ВОПРОС: У кого живет рыба?
ПОДСКАЗКИ:
- Англичанин живет в красном доме.
- Швед держит собаку.
- Датчанин пьет чай.
- Зеленый дом стоит слева от белого.
- Жилец зеленого дома пьет кофе.
- Человек, который курит «Pall Mall», держит птицу.
- Жилец из среднего дома пьет молоко.
- Жилец из желтого дома курит «Dunhill».
- Норвежец живет в первом доме.
- Курильщик «Marlboro» живет около того, кто держит кошку.
- Человек, который содержит лошадь, живет около того, кто курит «Dunhill».
- Курильщик «Winfield» пьет пиво.
- Норвежец живет около голубого дома.
- Немец курит «Rothmans».
- Курильщик «Marlboro» живет по соседству с человеком, который пьет воду. Решение.
Метод неопределенных коэффициентов при решении уравнения
Решите уравнение (x2 + 4x – 2)2 + 4(x2 + 4x – 2) – 2 = x. Решение.
С помощью системы или арифметически?
Ученик 11 А класса школы № 679 Алексеев Д. решает задачу РЭА — 2002 двумя способами.
1. Если 1/3 пути турист пройдет пешком, а 2/3 пути проедет на велосипеде, то затратит на весь путь 1,5 ч. Если же 1/3 пути он проедет на велосипеде, а 2/3 пути пройдет пешком, то затратит на весь путь 2 ч 15 мин. За какое время он пройдет весь путь пешком? Решение.
Задача из сборника РЭА им. Плеханова
Необычную задачу из сборника для подготовки к экзаменам попросила нас решить абитуриентка Оксана (г. Москва). Приведем ее условие и решение, а чертеж сделайте, пожалуйста, сами.
Задача. Точки А и В лежат на сторонах MN и NP параллелограмма MNPQ соответственно,
МА:АN = 3:1, MO:OB = 24:23, где О — точка пересечения отрезков AQ и MB. Найдите отношение длин отрезков NB и BP. Решение.
Задача о стаде баранов
У двух братьев было стадо баранов. Они продали его и за каждого барана получили столько рублей, сколько голов было в стаде. Выручку стали делить пополам. Старшему брату – десятку, младшему брату – десятку, старшему – десятку, младшему – десятку. И так несколько раз. Потом старший брат взял свою десятку, а младшему нескольких рублей не хватило до десяти. Тогда старший вынул из кармана нож и отдал брату в компенсацию за недостающую сумму. Сколько стоил нож? Решение.
Задача о длине трубы
Мальчики спорили о длине трубы, которую трактор тянул на полозьях. Чтобы выяснить, кто прав, один из мальчиков длиной шага 0,75 м прошел вдоль трубы. Когда он шел в направлении движения трактора, то сделал 120 шагов, в обратном направлении он сделал вдоль трубы 30 шагов. Какова длина трубы? Решение.
Задача о трёх сосудах
В трёх сосудах 36 литров воды. Из первого сосуда перелили 1/2 всей воды во второй, 1/3 воды, оказавшейся во втором сосуде, перелили в третий. И 1/4 воды из третьего сосуда перелили в первый. После этих переливаний воды во всех сосудах стало поровну. Сколько литров воды было первоначально в каждом сосуде? Решение.