Решайте с нами!

Решайте с нами. Решайте, как мы. Решайте лучше нас!

В этом разделе будем публиковать ссылки на заметки, посвящённые решению задач, обсуждение решений которых проводится под девизом, вынесенным в заголовок.

09.06.2017 Иррациональное уравнение, или Метод велосипеда против метода танка

13.06.2017. Иррациональные уравнения «метод танка» или… (с уточнением от внимательного читателя)

13.06.2017. Метод интервалов для непрерывных функций, или Поучительные нестрогие неравенства

 

Далее приведены ответы на наиболее интересные вопросы посетителей сайта, полученные по адресу avshevkin@mail.ru или через гостевую книгу сайта. 

Задачи из учебников, дидактических материалов к учебникам серии «МГУ–школе»

Математика 5, дидактические материалы (М.К. Потапов, А.В. Шевкин, 2013-2014)

61. Разность двух чисел на 23 меньше первого из них. Найдите второе число.

Решение. Переформулируем вопрос: на сколько уменьшили первое число, если при вычитании получили ответ на 23 меньше первого числа (уменьшаемого)? Ответ: на 23, то есть второе число 23. Примеры: 33 — 23 = 10, 45 — 23 = 22, … (уменьшаемое и разность определить нельзя, но это и не требуется).

62. Разность двух чисел на 50 меньше первого числа и на 20 меньше второго. Найдите числа и разность.

Решение. Первое число уменьшили на 50, значит второе число 50. Разность на 20 меньше второго числа, то есть разность равна 50 — 20 = 30. Первое число (уменьшаемое) найдём сложением:
30 + 50 = 80. Мы нашли все числа. Получилось 80 — 50 = 30.

Математика 6 (С.М. Никольский и др., 2013-2014) 

941. Арбуз массой 20 кг содержал 99 % воды. Когда он немного усох, то стал содержать 98 % воды. Какова теперь масса арбуза? Решение.

1043. Земной шар стянули обручем по экватору. Затем увеличили обруч на 1 м. Пролезет ли кошка в образовавшийся зазор? Решение.

 

Алгебра 8 (С.М. Никольский и др., 2014)

 

18. Солдат построили не по росту, но с четким разделением на ряды и колонки. В каждом ряду выбрали самого высокого, а из всех высоких — самого низкого. В каждой колонке выбрали самого низкого, а из всех низких — самого высокого. Кто выше ростом: самый низкий из высоких или самый высокий из низких?  Решение.

922. Брат и сестра собирали малину в двухлитровые бидоны. Брат собирал ягоды быстрее сестры. Через некоторое время он решил ей помочь и поменялся с ней бидонами. Момент для обмена бидонами был выбран удачно — ребята наполнили их ягодами одновременно. Сколько литров ягод они набрали вместе до того, как поменялись бидонами? Решение. 

996. Задача конкурсного экзамена (Финансовая академия). Бассейн начали заполнять водой с помощью насоса. После того, как треть бассейна была  заполнена, насос поработал еще минуту и сломался. Оставшаяся часть бассейна заполнялась с помощью запасного насоса, имеющего меньшую мощность. Известно, что первая треть бассейна заполнилась на 10 минут быстрее второй, а вторая — на 10 минут быстрее третьей. За какое время наполнилась первая треть бассейна? Решение.

997. (Из книги АРИФМЕТИКА ПОМОГАЕТ АЛГЕБРЕ В.И. Романовского). Друзья Томаса Эдисона удивлялись, почему калитка перед его домом открывается с трудом. «Калитка отрегулирована так, как надо, — смеясь отвечал Эдисон; — я сделал от нее привод к насосу, и каждый входящий накачивает в цистерну 20 л воды». Если бы каждый посетитель накачивал на 5 л больше, то для заполнения цистерны понадобилось бы на 12 человек меньше. Какова ёмкость цистерны? Решение.

 

Алгебра и начала математического анализа 10 (С.М. Никольский и др., 2014)

Решение.

 Задачи из других источников

Задача. Один говорит другому: «Дай мне 7 динариев, и я буду в 5 раз богаче тебя». А другой говорит: «Дай  мне 5 динариев, и я буду в 7 раз богаче тебя». Сколько денег у каждого? (См. аналогичные задачи 1272-1275: С.М. Никольский и др., Математика, 6, 2013-2014). Решение.

Задача. ABCD — квадрат, О — точка пересечения его диагоналей. Отрезок MO перпендикулярен плоскости ABC. F — середина AB. Сторона квадрата равна 4. MO = 2V3 (2 корня из 3) . Надо найти угол между прямой FD и плоскостью DMC. Решение.

Задача А. Эйнштейна

1. Есть 5 домов пяти цветов.
2. В каждом доме живет один человек: немец, англичанин, швед, датчанин и норвежец.
3. Каждый пьет только один определенный напиток, курит определенную марку сигарет и держит определенное животное.
4. Никакие два человека из этих пяти не пьют одинаковые напитки, не курят одинаковые сигареты и не держат одинаковых животных.

ВОПРОС: У кого живет рыба?

ПОДСКАЗКИ:

1. Англичанин живет в красном доме.
2. Швед держит собаку.
3. Датчанин пьет чай.
4. Зеленый дом стоит слева от белого.
5. Жилец зеленого дома пьет кофе.
6. Человек, который курит «Pall Mall», держит птицу.
7. Жилец из среднего дома пьет молоко.
8. Жилец из желтого дома курит «Dunhill».
9. Норвежец живет в первом доме.
10. Курильщик «Marlboro» живет около того, кто держит кошку.
11. Человек, который содержит лошадь, живет около того, кто курит «Dunhill».
12. Курильщик «Winfield» пьет пиво.
13. Норвежец живет около голубого дома.
14. Немец курит «Rothmans».
15. Курильщик «Marlboro» живет по соседству с человеком, который пьет воду. Решение.

 

Метод неопределенных коэффициентов при решении уравнения

Решите уравнение  (x² + 4x – 2)² + 4(x² + 4x – 2) – 2 = x. Решение.

С помощью системы или арифметически?
Ученик 11 А класса школы № 679 Алексеев Д. решает задачу РЭА — 2002 двумя способами.

1. Если 1/3 пути турист пройдет пешком, а 2/3 пути проедет на велосипеде, то затратит на весь путь 1,5 ч. Если же 1/3 пути он проедет на велосипеде, а 2/3 пути пройдет пешком, то затратит на весь путь 2 ч 15 мин. За какое время он пройдет весь путь пешком? Решение.

 

Задача из сборника РЭА им. Плеханова

Необычную задачу из сборника для подготовки к экзаменам попросила нас решить абитуриентка Оксана (г. Москва). Приведем ее условие и решение, а чертеж сделайте, пожалуйста, сами.

Задача. Точки А и В лежат на сторонах MN и NP параллелограмма MNPQ соответственно,
МА:АN = 3:1, MO:OB = 24:23, где О — точка пересечения отрезков AQ и MB. Найдите отношение длин отрезков NB и BP. Решение.

Задача о стаде баранов 

У двух братьев было стадо баранов. Они продали его и за каждого барана получили столько рублей, сколько голов было в стаде. Выручку стали делить пополам. Старшему брату – десятку, младшему брату – десятку, старшему – десятку, младшему – десятку. И так несколько раз. Потом старший брат взял свою десятку, а младшему нескольких рублей не хватило до десяти. Тогда старший вынул из кармана нож и отдал брату в компенсацию за недостающую сумму. Сколько стоил нож? Решение.

Задача о длине трубы

Мальчики спорили о длине трубы, которую трактор тянул на полозьях. Чтобы выяснить, кто прав, один из мальчиков длиной шага 0,75 м прошел вдоль трубы. Когда он шел в направлении движения трактора, то сделал 120 шагов, в обратном направлении он сделал вдоль трубы 30 шагов. Какова длина трубы?  Решение.

Задача о трёх сосудах

В трёх сосудах 36 литров воды. Из первого сосуда перелили 1/2 всей воды во второй, 1/3 воды, оказавшейся во втором сосуде, перелили в третий. И 1/4 воды из третьего сосуда перелили в первый. После этих переливаний воды во всех сосудах стало поровну. Сколько литров воды было первоначально в каждом сосуде? Решение.