Докажем неравенство методом математической индукции
или «по-нашему, по-неучёному»

Рассмотрим три задачи на доказательство неравенств.

Докажите неравенства:

1. .	(1)

2. .	(2)

3. .	(3)

Каждое из неравенств имеет вид A и доказывается одним и тем же приёмом — доказательством неравенства . Но по мере увеличения числа слагаемых доказательство усложняется.

Возникает естественная гипотеза про обобщение этих неравенств:

4. , n N, n > 1.	(4)

При первой публикации задания мне казалось, что для доказательства неравенства (4) надо воспользоваться методом математической индукции, и я подготовил такое решение. Но через пару часов после публикации задания пришёл отклик нашего внимательного читателя А. В., который считает, что и без метода математической индукции можно обойтись, если воспользоваться только неравенством (1), возвести сумму n чисел в квадрат, аккуратно выполнить подсчёт числа слагаемых в полученном результате. Кажется, это неплохая подсказка.

Доказательства

1. Так как , то неравенство (1) верно, что и требовалось доказать.

2. Так как
, то неравенство (2) верно, что и требовалось доказать.

3. Так как
, то неравенство (3) верно, что и требовалось доказать.

4. Из неравенства (1) следует, что неравенство (4) верно для n = 2.

Предположим, что неравенство (4) верно для n = k, т. е., что верно неравенство

(5)

и докажем, что неравенство (4) верно для n = k + 1:

.	(6)

для этого преобразуем левую часть неравенства (6), используя неравенство (5):

и докажем, что верно неравенство

.	(7)

Для этого из левой части неравенства (7) вычтем правую и преобразуем полученное выражение.

= =
= =
= =, следовательно, неравенство (7) верно.

Из доказанного следует, что неравенство (6) верно, поэтому на основании принципа математической индукции заключаем, что неравенство (4) верно для любого натурального n > 1.

А вот подробная запись второго способа решения, подсказанного нашим внимательным читателем А. В.

II способ. Возведём в квадрат сумму , в полученной сумме заменим каждое удвоенное произведение на , пользуясь неравенством (1). При этом n – 1 произведение вида дадут n – 1 сумму вида , тогда всего слагаемых (вместе с тем, что заключено в скобки) будет ровно n. Аналогично будет по n слагаемых вида . Проверяйте:

=

откуда следует неравенство (4).

А.В. Шевкин.

14.09.2017.