Параметры. Конкурсная задача про арксинус и 14-угольник

Шевкин А.В., г. Москва,
avshevkin@mail.ru,

1. Найдите все a, при каждом из которых фигура, заданная неравенством

(1)

представляет собой 14-угольник. [1, № 1649, эконом. ф. МГУ, 1996]

Решение. Если пара чисел является решением неравенства (1), то решением этого неравенства является каждая из трёх пар , , . Квадратный корень имеет смысл, если , но при a = 0 фигура F, заданная неравенством (1), превращается в точку, значит, . Сначала надо построить множество всех точек , изображающих решения неравенства (1), в I-й четверти системы координат xOy, затем, пользуясь симметриями относительно осей координат, — всю фигуру F.

Границей фигуры F в I-й четверти является график функции y = f (x), заданной уравнением:

.	(2)

Область определения функции (2) задаётся двойным неравенством 0 ≤ x ≤ a.

Функция

(3)

определена на множестве R и является периодической с периодом 2π.

Если ≤ x ≤ , то функция (3) задаётся формулой , её график — отрезок.

Пусть ≤ x ≤ . Так как и ≤ ≤ , то функция (3) задаётся формулой , её график — отрезок.

Далее строим график функции (3), пользуясь её периодичностью (рис. 1).

Введём обозначения: f1 (x) = и f2 (x) , тогда
f (x) = f1 (x) + f2 (x). Все функции рассматриваем на отрезке 0 ≤ x ≤ a.

Для любого a > 0 функция y = f1 (x) задаётся формулой y = , её график — отрезок с концами в точках (0; a) и (a; 0). Так как верно равенство

,

то функция y = f2 (x) задаётся формулой y = .

График функции y = f2 (x) получается из графика функции (3) сдвигом его на a единиц вправо и отражением относительно оси Ox (рис. 2).

Для каждого из рассматриваемых промежутков значений a будем строить графики функций: y = f1 (x), y = f2 (x) и y = f (x) на отрезке [0; a]. Для краткости два последних графика будем иногда называть: ломаная y = f2 (x) и ломаная y = f (x).

1) Если 0 < a ≤ , то граница фигуры F в I-й четверти задаётся формулой
y = 2a – 2x. Графиком этой функции является отрезок с концами в точках (0; 2a) и (a; 0). F — четырёхугольник (рис. 3).

2) Пусть < a ≤ . Графики функций y = f1 (x) и y = f2 (x) изображены на рисунке 4. Границей фигуры F в I-й четверти является ломаная y = f (x) (рис. 5). На рисунке 5 изображена часть фигуры F, расположенная в I-й четверти. F — шестиугольник.

3) Пусть < a ≤ . Графики функций y = f1 (x) и y = f2 (x) изображены на рисунке 6, ломаная y = f (x) — на рисунке 7. F — шестиугольник.

4) Пусть < a ≤ . Графики функций y = f1 (x) и y = f2 (x) изображены на рисунке 8, ломаная y = f (x) — на рисунке 9. F — 12-угольник.

Заметим, что в случаях 2) и 3) одинаковы: количества звеньев ломаной
y = f2 (x), ломаной y = f (x), а также количества сторон многоугольника F.

5) Если < a ≤ , то, по сравнению с предыдущим случаем, число звеньев ломаной y = f2 (x) не изменилось, не изменилось и число сторон многоугольника F. В этом случае фигура F тоже 12-угольник.

6) Пусть < a ≤ 3. Графики функций y = f1 (x) и y = f2 (x) изображены на рисунке 10, ломаная y = f (x) — на рисунке 11. F — 14-угольник.

7) Если 3< a ≤ , то, по сравнению с предыдущим случаем, число звеньев ломаной y = f2 (x) не изменилось, не изменится и число сторон многоугольника F. В этом случае F — 14-угольник.

При дальнейшем увеличении a число звеньев ломаной y = f2 (x) увеличивается, число звеньев ломаной y = f (x) тоже увеличивается, а многоугольник F будет иметь более 14 вершин.

Условиям задачи удовлетворяют все a, такие, что .

Ответ. .

2. Можно ли описанным выше способом задать 2018-угольник? Если да, то укажите соответствующий промежуток значений параметра.

Используемая литература

[1] Сергеев, И.Н. Математика. Задачи с ответами и решениями: Пособие для поступающих в вузы. — 4-е изд. – М.: КДУ; Высшая школа, 2003. – 336 с.