Задача о стаде баранов
У двух братьев было стадо баранов. Они продали его и за каждого барана получили столько рублей, сколько голов было в стаде. Выручку стали делить пополам. Старшему брату – десятку, младшему брату – десятку, старшему – десятку, младшему – десятку. И так несколько раз. Потом старший брат взял свою десятку, а младшему нескольких рублей не хватило до десяти. Тогда старший вынул из кармана нож и отдал брату в компенсацию за недостающую сумму. Сколько стоил нож?
Решение 1. Вырученная сумма — натуральное число (это квадрат числа баранов). Число целых десяток нечетное, так как они закончились на старшем брате.
Тогда вырученную сумму n2 можно записать так: n2 = 10(2k + 1) + p =
= 20k + 10 + p, где 2k + 1 — число целых десяток, а p — последняя сумма, полученная младшим братом. Откуда видно, что число n2 при делении на 20 имеет остаток 10 + p.
Квадраты натуральных чисел 1, 2, …, 9, 10 при делении на 20 дают остатки: 1, 4, 9, 16, 5, 16, 9, 4, 1 и 0. Любое многозначное натуральное число можно записать в виде 10a + b, где b — цифра единиц (однозначное натуральное число), а его квадрат — в виде 100a2 + 20ab + b2. Так как два первых слагаемых делятся на 20 без остатка, то остаток от деления на 20 числа n2 равен остатку от деления на 20 его последней цифры, т. е. одному из чисел: 1, 4, 9, 16, 5, и 0.
Последняя целая десятка входит в единственный остаток 16. Значит, младшему досталось 6 рублей, а излишек 10 – 6 = 4 (р.) старший брат поделил поровну, оставив себе 2 р. и отдав брату нож, который стоил 2 р.
Ответ. 2 р.
Примечание. Когда мы обсуждали решение задачи в классе, то возник спор. Некоторые учащиеся считали, что с помощью ножа нельзя уравнять суммы, полученные братьями от продажи баранов, так как стоимость ножа не входит в сумму, вырученную от продажи баранов. Эти возражения можно было бы принять, если бы в условии задачи не было сказано «в компенсацию за недостающую сумму». Если бы старший брат разменял одну десятку и дал младшему брату 2 р., то братья разделили бы вырученную сумму поровну. Не имея такой возможности, старший отдал младшему 2 р. в компенсацию за недостающую сумму, т. е. младший брат получил свои 2 р. в виде ножа. Поэтому надо считать, что задача решена верно.
Теперь приведем решения этой задачи, которые нам прислали.
Решение 2. Прислали Дьячков А. В., школа № 103 и Романовский В.И., Израиль, г. Реховот, преподаватель математики, один из авторов сайта www.math-on-line.com, автор книги «Арифметика помогает алгебре», М.: Физматлит, 2007. Решения одинаковы, но решение Романовского В.И. более подробно описано, что полезно для посетителей сайта. Его мы и публикуем.
Выручка от продажи баранов численно равна квадрату числа баранов в стаде и выражается числом, содержащим нечетное количество полных десятков. Обозначив число проданных баранов N, запишем равенство N2 = 10(2n + 1) + k, где k — сумма, полученная младшим братом на последнем этапе дележа (k < 10).
Число N представимо в виде N = 10a + b. Поэтому N2 = (100a2 + 20ab) + b2. Число десятков в первом слагаемом полученной суммы четно. Следовательно, b2 содержит нечетное число десятков. Этому условию отвечают два значения числа b, b = 4 и b = 6. В обоих случаях цифра единиц числа b2 равна 6. Итак, k = 6, младший брат получил на 4 меньше старшего. Передав младшему брату нож, стоимость которого равна 2 (половине указанной суммы), старший брат обеспечил справедливость дележа.