Задачи

Метод неопределенных коэффициентов

Метод неопределенных коэффициентов,
или Сведение уравнения к системе
 

Дмитрий из Москвы попросил нас подсказать идею решения такого уравнения:

(x2 + 4x  2)2 + 4(x2 + 4x  2) 2 = x.

Данное уравнение преобразуется к виду

x4 + 8x3 + 16x2 x 6 = 0.

Оно не имеет рациональных корней. Раскладываем его  левую часть на множители методом неопределенных коэффициентов. Подберем такие m и n, чтобы выполнялось равенство:
 (x2 + mx 2)(x2 + nx + 3) = x4 + 8x3 + 16x2 x 6.
Для этого раскроем скобки слева и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x.
Получим m = 3, n = 5, то есть наше уравнение равносильно уравнению:
 (x2 + 3x 2)(x2 + 5x + 3) = 0.
Окончание решения должно быть понятным.
Успехов тебе, Дмитрий!

P.S. Не успели «высохнуть чернила» на этом решении, как с нами связался известный автор интересных статей в газете МАТЕМАТИКА Александр Александрович Прокофьев сообщил, что такого рода уравнения были на конкурсном экзамене в его МИЭТе и предложил еще одну идею решения. Она покажется полезной тем, кому сложно подобрать те самые коэффициенты m и n. Действительно, приведенный выше метод не всегда дает нужные коэффициенты с первой попытки.

Итак, обозначим t = x2 + 4x  2, тогда корень исходного уравнения можно будет найти, решив систему двух уравнений

t = x2 + 4x 2,
x = t2 + 4t 2.

Для ее решения из первого уравнения вычтем второе, получим уравнение

t x = x2 t2 + 4x 4t,

которое приводится к виду

(x t)(x + t + 5) = 0.

Теперь, рассмотрев два случая t = x и t = x 5, из первого уравнения системы найдем четыре корня исходного уравнения.

Спасибо, Александр Александрович!

www.Shevkin.ru | © 2004 - 2017 | Копирование разрешено с ссылкой на оригинал