Давненько мы не решали системы!

– Давненько не брал я в руки шашек! – говорил
Чичиков, подвигая тоже шашку.

– Знаем мы вас, как вы плохо играете! – сказал
Ноздрев, выступая шашкой.

Н.В. Гоголь

Решатель переписал систему, допустив две ошибки, система получилась интересная.

1. Решите систему

(1)

Решение. Применим метод рассуждений с числовыми значениями. Предположим, что система (1) имеет решение (;; ). Тогда верны числовые неравенства: + 2 ≥ 0, + 1 ≥ 0, ≥ 0 и равенства

,	(2)

(3)

Возведя верное числовое равенство в квадрат, получим новое числовое равенство:

.	(4)

Используя равенство (3), перепишем равенство (4):

,

.	(5)

Но числовое равенство (5) неверно, так как , а . Следовательно, чисел , и , удовлетворяющих системе (1) не существует, т. е. система (1) не имеет решений.

Ответ. Нет решений.

Теперь решим систему с исправлением ошибок в её записи.

2. Решите систему

(6)

Решение. Пусть = , = , причём ≥ 0, ≥ 0,
= 1 – t. Тогда

= ∙ = ∙ =

Если система (6) имеет решения, то, по теореме, обратной теореме Виета, числа и являются корнями квадратного уравнения

(7)

дискриминант D которого равен:

.

Уравнение (7) имеет единственный корень (= ) при t = –3, при
дискриминант отрицательный и уравнение (7) корней не имеет, а система (6) не имеет решений.

Вычислим этот единственный корень уравнения (7):

= = = = 2.

Тогда = = 2, откуда получаем, что x = 2, y = 3.

Проверка показывает, что тройка чисел x = 2, y = 3, t = –3 действительно является решением системы (6). Других решений эта система не имеет.

Ответ. (2; 3; –3).

Вот ещё система под номером 6.316 из книги, в которой приведено её неверное решение. Ответ в этой книге отличается в двух местах от ответа в первоисточнике, в котором он тоже неверный.

3. Решите систему

(8)

Решение. Заменив третье уравнение системы (8) суммой трёх уравнений этой системы, получим систему

равносильную системе (8). Перепишем полученную систему в виде

(9)

Вычитая из третьего уравнения системы (9) сначала первое, потом второе уравнения этой системы, получим систему

(10)

Теперь из третьего уравнения системы (10) вычтем и первое, и второе уравнения этой системы. Получим систему

равносильную системе (10), а значит, и системе (8). Перепишем полученную систему в виде

(11)

Теперь рассмотрим четыре случая:

1) = 0, 2) = 1, 3) = –1, 4) ≠ 0, ≠ 1, ≠ –1.

1) Если = 0, то система (11) равносильна системе

Так как ≠ 0, ≠ 0, то = 0. Тогда = , где ∈ R, ≠ 0. Для = 0 получено решение (; ; ) системы (8): , где ∈ R, ≠ 0.

2) Если = 1, то система (11) равносильна системе

Так как ≠ 0, ≠ 0, то = 0. Тогда = , где ∈ R, ≠ 0. Для = 1 получено решение (; ; ) системы (8): , где ∈ R, ≠ 0.

3) Если = –1, то система (11) равносильна системе

Так как ≠ 0, ≠ 0, то = 0. Тогда = , где ∈ R, ≠ 0. Для = –1 получено решение (; ; ) системы (8): , где ∈ R, ≠ 0.

4) Если ≠ 0, ≠ 1, ≠ –1, то среди чисел , , , , – 1 и + 1 нет нулей, поэтому делением первого уравнения системы (11) на второе получим, что = , т. е. = . Подставив вместо в третье уравнение системы (11), получим, что = .

Если , то = , = .

Если , то = , = .

Итак, если ≠ 0, ≠ 1, ≠ –1, то система (8) имеет решения и .

Ответ. , где ≠ 0, если = 0; , где ∈ R, ≠ 0, если = 1; , где ∈ R, ≠ 0, если = –1; ,
, если ≠ 0, ≠ 1, ≠ –1.

Полный сборник решений задач для поступающих в вузы. Группа В. / Под ред. М. И. Сканави. – М: Альянс–В; Мн.: ООО «Харвест». 1999. – 608 с.

Сборник задач для поступающих во втузы. Учебное пособие / В. К. Егерев, Б. А. Кордемский, В. В. Зайцев и др.; Под ред. М. И. Сканави. – 5-е изд., перераб. и доп. – М: Высшая школа, 1988. – 431 с.