Автобиографические заметки
Андрей Тоом
Я родился 12 апреля 1942 года в Ташкенте, столице Узбекистана, тогда входившего в состав СССР, а теперь независимого государства. Война шла на подступах к Москве и всё её население было эвакуировано на восток. С 1944 по 1989 год я жил в Москве. Мой отец Леон Тоом работал как переводчик с эстонского и других языков, а также писал стихи, которые не были опубликованы при его жизни. Моя мать Наталия Антокольская иллюстрировала детские книги. Мои родители были заняты, и я проводил много времени в комнате своей бабушки, дававшей огромное количество репетиторских уроков по всем предметам, так что у меня было много школьных знаний ещё до школы. Помню, что уроки грамматики были для меня похожи на уроки математики и так же интересны. Я и теперь считаю, что изучение грамматики в школе чрезвычайно полезно не только в прагматических целях. Думаю, что исключительно слабая математическая подготовка американских учащихся не в последнюю очередь обусловлена тем, что их не учат грамматике.
В 1949 году я пошёл в школу № 69 города Москвы и закончил её в 1959 году. Моим учителем математики в старших классах был знаменитый Александр Абрамович Шершевский по прозвищу «Нос», один из лучших учителей математики в Москве того времени. Он сумел преодолеть мою инертность и настоять, чтобы я участвовал в математических олимпиадах, организованных Московским университетом (на которых я получил одну третью премию и два похвальных отзыва), и ходил на математические кружки, которые вели студенты университета. Я выбрал кружок, где самым активным руководителем был Александр Моисеевич Олевский, которого мы звали Сашей. Большинство кружков занимались в основном решением задач олимпиадного типа (что совсем неплохо), но Саша был увлечён строгими доказательствами математического анализа (епсилон-дельта рассуждениями) и для меня это было как раз то, что надо. Я считаю, что именно на этом кружке я стал профессиональным математиком.
Сразу после окончания школы я участвовал в первой международной математической олимпиаде в Румынии и получил третью премию. В то же лето я поступил на механико-математический факультет МГУ. Следуя примеру профессоров, я считал своим почётным долгом с первого же курса вести кружок для школьников и участвовать в организации математических олимпиад. Моими ближайшими друзьями стали студенты, участвовавшие в этой деятельности. Нигде в мире я больше не встречал такой заботы профессиональных математиков о передаче знаний, умений и энтузиазма следующим поколениям, как в России. Как и другие выходцы из России, я вожу память об этой заботе с собой. С тех пор прошло сорок пять лет, и не было ни одного года, когда я не внёс какой-нибудь вклад в математическое образование.
Мне всегда нравилась дискретная математика. Особенно мне понравились лекции Олега Борисовича Лупанова с его ясным стилем и в 1962 году я попросил его стать моим научным руководителем. Он согласился и предложил мне несколько задач на выбор. В частности, он рассказал мне результат Карацубы о сложности умножения двух многозначных чисел и предложил его улучшить. В тот же день у меня появилась идея, как это сделать. Тут как раз начались зимние каникулы, которые я, как обычно, провёл на даче у своего деда, катаясь на лыжах. За две недели я практически написал статью, которая была опубликована в Докладах Академии Наук. Это была моя первая публикация в профессиональной математике. (До этого я выпустил только сборник подготовительных задач к олимпиаде.) Теперь этот метод известен как метод Тоома-Кука или Тоом3 (Toom-Cook, Toom3). Андрей Николаевич Колмогоров, которому принадлежала постановка этой задачи, заинтересовался моей работой и приглашал участвовать в своих проектах: писать статьи для журнала «Квант» и преподавать в летнем математическом лагере и организованном им Физико-Математическом Интернате.
Мне хотелось работать на стыке математики с другими науками. Это желание привело меня на семинар под руководством Ильи Иосифовича Пятецкого-Шапиро, я поступил в аспирантуру под его руководством и выполнил несколько работ по процессам с локальным взаимодействием (процессам с частицами, клеточным автоматам), за которые в 1972 году получил премию Московского Математического Общества для молодых учёных, а в 1973 году – кандидатскую степень. Процессы с локальным взаимодействием и их применение к естественным наукам остаются моим главным предметом исследования до сих пор. В семидесятых годах мы думали, что такие процессы могут быть полезны как математические модели биологических явлений. Теперь я думаю, что биологические явления слишком сложны, чтобы моделировать их таким образом. Однако, как модели физических явлений эти процессы вполне годятся. Кроме того, такие процессы могут помочь при конструировании вычислительных систем. В интернете вы можете найти ссылки на «правило Тоома» (Toom rule). Хотя это правило появилось в работе Пятецкого-Шапиро и Оли Ставской, я имею на него некоторое право, так как впервые доказал наиболее важное его свойство – неэргодичность при малом параметре шума. Впрочем, я продолжаю интересоваться и алгоритмами – в сочетании со случайными процессами.
Ещё не закончив аспирантуру, я поступил на работу в межфакультетскую лабораторию под руководством Израиля Моисеевича Гельфанда и под его влиянием стал помогать Заочной Математической Школе, для которой написал несколько заданий и пособий. Официально работа в этой лаборатории не включала преподавательских обязанностей, но я по доброй воле участвовал во многих образовательных проектах.
Кроме того, меня интересовали гуманитарные науки. В начале семидесятых годов на какой-то конференции я прослушал доклад Володи Лефевра и был очарован его умением логически рассуждать в гуманитарной области и плодотворной идеей многократной рефлексии. Под его влиянием я опубликовал несколько работ на стыке психологии, теории игр и литературоведения.
В 1985 году я познакомился на одном домашнем семинаре со Стёпой Пачиковым и как только он организовал клуб «Компьютер», я стал его постоянным преподавателем. Работа в этом клубе дала мне богатую пищу для размышлений о том, как дети учатся. Я сказал выше, что стал математиком на математическом кружке, то есть в неформальной обстановке, где моё присутствие никак не регистрировалось и я не получал никаких отметок. Нечто подобное произошло с моими детьми. В последние три года пребывания в России, когда я преподавал в компьютерном клубе, мой сын Антон был там учеником. Обстановка была крайне неформальная, и именно в такой обстановке Антон стал по существу программистом. Когда мы ехали на метро домой, он мне говорил: «Сегодня я понял, чем goto отличается от gosub» или «Сегодня я научился обращаться со стрингами». Несколько лет спустя, когда мы жили в Сан Антонио, моя дочь Настя посещала клуб любителей живописи. Плата была – только на поддержание помещения. Все остальные члены клуба были старше её и охотно делились с ней всем, что умели. Там Настя стала художником, хотя не получила никакого диплома. Потом она окончила престижный художественный колледж и получила диплом, но считает, что там она ничему не научилась.
Меня неоднократно приглашали посетить иностранные университеты, но в течение многих лет партком МГУ не дал мне принять ни одно из этих приглашений. Только в 1989 году мне неожиданно разрешили принять приглашение Эррико Презутти посетить университет в Риме. Чтобы не мотаться туда-сюда и каждый раз зависеть от прихоти парткома, я из Рима направился прямо в Ратгерский Университет в США, куда у меня было приглашение от Джоела Лебовица. Находясь в Америке и используя одно приглашение за другим, я вызвал к себе жену и детей, мы подали на политическое убежище и с первого захода получили его. Однако, получить постоянное место работы было не так просто: разваливалась коммунистическая система и на запад хлынул поток русских и восточно-европейских учёных в поисках работы. Служащие консулатов чурались советских паспортов. Из-за невозможности получить визу, я не мог принять приглашения в другие страны. К тому же вскоре после моего приезда в США китайские власти устроили расстрел на площади Тянь-Ань-Мынь и все пятьдесят тысяч известных своим прилежанием китайских аспирантов, находившихся в тот момент в США, подали на политическое убежище и стали искать работу. Мои коллеги делали всё, чтобы обеспечить мне хотя бы временную работу по специальности. Вслед за Лебовицем, Петер Гач пригласил меня в Бостонский Университет, где я провёл 1990-1991 учебный год, преподавая теорию алгоритмов аспирантам факультета информатики (computer science). Затем я был приглашён на 1991-1992 учебный год в Техасский Университет в Остине.
С 1992 по 1997 год я преподавал в католическом Колледже, а затем Университете Воплощённого Слова в городе Сан Антонио. Средний уровень студентов был крайне низкий и руководители университета считали, что знающие математики им не нужны. Однажды в этом университете открылась вакансия и он получил больше ста заявлений. Два самых сильных заявления были от недавних иммигрантов из России: оба с большим количеством печатных работ. Их обоих немедленно отвергли, что меня не удивило. Удивило меня другое. Когда комиссия выбрала трёх лучших из оставшихся кандидатов и представила их на рассмотрение декану и он увидел, что вынужден выбирать из трёх математиков, каждый из которых компетентнее, чем он сам, декан объявил, что у нас в сущности достаточно преподавателей и закрыл конкурс. Впоследствии он принимал на работу безо всякого конкурса людей совсем без публикаций, едва способных читать базовые курсы.
В другом университете я сам всё напортил. Меня пригласили прочесть лекцию для студентов, чтобы принять меня на работу, если лекция будет удачной. Я выбрал тему «Действительные числа» и предложил своим слушателям голосовать по вопросу о том, меньше ли единицы бесконечная десятичная дробь 0,999999… Подавляющее большинство проголосовало, что меньше, включая вице-президента университета, сидевшего среди студентов. Ещё в одном университете я тоже всё напортил. Мне позвонили оттуда и предложили читать «бизнес-калькулюс». Я ответил, что студенты, которые берут курс с таким названием, обычно не знают щкольной математики, и вот её-то им и надо преподавать. Потом тот, кто пытался меня туда устроить, журил меня на ломаном русском языке: «Андрей, ты угрозил их существованию». Он имел в виду, что тамошние профессора только и умели преподавать, что отвратный бизнес-калькулюс. Все эти годы многие из тех, кто брал на работу, были менее компетентны, чем лучшие из тех, кого они могли взять, и они избегали брать лучших. Некоторые приезжие умели притвориться глупее, чем они были. Некоторые выбрасывали добрую половину из списка своих публикаций и благодаря этому получали работу. Слово «overqualified», то есть излишне квалифицированный, было у всех на слуху как истинная причина многих отказов.
На протяжении всех этих лет я расширял свой кругозор, читая книги по психологии математического образования. О теориях и влиянии Торндайка и Дьюи на американское образование я читал ещё в России, но только приехав в США, я воочию убедился, каким глубоким и в некоторых отношениях губительным было это влияние. Я участвовал в нескольких дискуссионных листах, предназначенных для обсуждения проблем математического образования по электронной почте. В течение нескольких лет я был особенно активен в листе под названием math-teach. В этом листе ведётся полная регистрация сообщений, они доступны в Интернете и там можно вести поиск по ключевым словам. Это весьма любопытное чтение. Участие в этих дискуссиях дало мне очень много для понимания психологии американских учителей и деятелей образования. Мои собеседники высказывали мысли, которые казались им самоочевидными, не замечая того, что они как попугаи повторяли положения теорий весьма сомнительного свойства. Например, в России слово «арифметика» воспринимается вполне нормально. В США его избегают, боятся показаться провинциальными. В результате даже студенты университетов не умеют решать простые арифметические задачи попросту, в уме, им приходится вводить буквенные обозначения, составлять таблицы. Помню, как в одном американском университете студенты с трудом решали текстовую задачу составляя таблицу и вдруг одна китаянка подошла к доске и решила задачу в одну строчку. Все были поражены.
В России присутствие, даже обилие текстовых задач в курсах арифметики и алгебры всем привычно. В США отношение к текстовым задачам – болезненное, решать их ни учителя, ни ученики не умеют и оправдываются тем, что эти задачи не нужны, так как не встречаются в повседневной жизни. Впрочем, применять математику к физике большинство американцев тоже не умеют. На лекции по калькулюсу я решил одну механическую задачу, а потом сказал: этот же результат можно получить из закона сохранения энергии. Молчание. Я попросил: «Кто слышал хоть что-нибудь о законе сохранения энергии – поднимите руку». В группе был один иностранный студент, и он единственный поднял руку. Дело в том, что в американском образовании не проводится различия между важным и второстепенным. Американские школьники должны выбирать из огромного числа возможностей, и никто не скажет им, что один предмет важнее другого. Впрочем, все предметы преподаются так плохо, что выбор, пожалуй, действительно неважен.
Сейчас в США идёт упорная борьба за введение хоть каких-нибудь стандартов в образовании. Десять лет назад эта борьба ещё даже и не начиналась, поэтому отсутствие национальной программы образования казалось большинству американцев само собой разумеющимся. Когда я высказывал аргументы в пользу такой программы, мои собеседники объясняли это тем, что я приехал из недемократической страны.
В США я научился лучше ценить русское математическое образование, казавшееся мне банальным, пока я не знал никакого другого. Когда в России я вёл математические кружки, я принимал как сами собой разумеющиеся базовые знания и умения своих учеников. Что бы я делал, если бы мои ученики не умели выполнять простейшие алгебраические преобразования – не знаю. Скорее всего, кружок пришлось бы закрыть. Преподавая в Америке, я столкнулся нос к носу с тем фактом, что люди не рождаются с математическими знаниями, что их надо систематически учить и что в России это делается неплохо, а в Америке – спустя рукава. На основании опыта преподавания математики в университетах США я опубликовал несколько статей, резко критикующих американское математическое образование. Почти все эти статьи и их русские переводы имеются на моём сайте.
В то же время меня весьма радушно приглашали в Бразилию. С 1998 года я работаю в Бразилии – сначала в Университете Сао Пауло, а теперь – в Федеральном Университете Пернамбуко. Я стараюсь делать здесь лучшее из того, чему меня научили в Москве – хорошую науку и хорошее образование в органической связи друг с другом. Здесь есть талантливая молодёжь, нуждающаяся в научном руководстве, и мой вклад весьма заметен. И это правда, хоть я и говорю это шутливым тоном, что я – единственный специалист по теории вероятностей во всей северной половине Бразилии – на территории большей, чем Англия, Германия, Италия и Франция вместе взятые. Мой интерес к математическому образованию тоже оказался ко двору. Меня уже несколько раз приглашали выступать с циклом лекций на тему «Сравнение школьного математического образования в Бразилии и других странах». В этих лекциях я подчёркиваю организованность и другие достоинства русского образования по сравнению с бразильским и американским.
Думаю, что имею право включить сюда ещё один аспект моей деятельности. Моим дедом был известный поэт Павел Григорьевич Антокольский (1896-1978). Его поэма «Сын» выразила горе миллионов родителей, чьи сыновья погибли, сражаясь на Отечественной войне. Я несколько лет занимался его литературным наследием. Ещё при жизни Антокольского возникла угроза его архиву и профессиональной библиотеке, а после его смерти она усугубилась. С гордостью могу сказать, что благодаря мне архив поэта был сохранён, что было нелегко. В 1986 году я организовал несколько вечеров памяти Павла Антокольского. Кроме того, я сыграл очень активную роль в подготовке сборника воспоминаний о нём. Сборник получился интересным и был быстро раскуплен. Одна из статей в нём – моя, и её читали с интересом. Я готовлю новый вариант этих воспоминаний, который появится на моём сайте. Вместе с моей женой Аней мы продолжаем публиковать и Павла Антокольского и Леона Тоома (1921-1969).
В сентябре 2004 года по приглашению расположенного в Москве Независимого Университета я посетил Россию после пятнадцатилетнего отсутствия. В некоторых отношениях Россия и Бразилия похожи: две большие неорганизованные страны с огромным потенциалом и кучей проблем. Но есть и различия. Образование в Бразилии гораздо хуже, чем в России, и наука слабее. С этим может быть связано то, что в Бразилии учёных ценят больше, чем в России. Уровень студентов в Независимом Университете – один из высочайших в мире, в Бразилии их бы старались удержать всеми силами, однако дипломы Независимого Университета не признаются российским правительством, как будто власти хотят всех вытолкнуть за границу.
На моём сайте http://www.de.ufpe.br/~toom вы можете найти многие из моих статей, включая статьи на русском языке, а также полный список моих публикаций на английском и португальском языках. У меня есть два электронных адреса: toom@de.ufpe.br и andretoom@yahoo.com
Ресифе, январь 2005.