А.В. Шевкин.О порядке изучения обыкновенных и десятичных дробей
Напомним, что ставший уже традиционным порядок изучения обыкновенных и десятичных дробей, принятый в учебниках Н.Я.Виленкина и др., а также Э.Р.Нурка и А.Э.Тельгмаа, утвердился в отечественной школе относительно недавно. Долгие годы, до самой реформы математического образования конца 60-х годов, в школе изучали обыкновенные дроби до десятичных. К концу 50-х годов математики и методисты сошлись во мнении, что не все благополучно с преподаванием математики в школе. Главную проблему тогда видели в том, что арифметике в школе отводилось слишком много времени в ущерб другим математическим дисциплинам, содержание которых отставало от современных потребностей.
В декабре 1958 г. Верховный Совет СССР принял Закон об укреплении связи школы с жизнью и о дальнейшем развитии системы народного образования в СССР и в первом же номере журнала «Математика в школе» за 1959 г. в порядке обсуждения была опубликована статья «О перестройке программ по математике в свете новых задач школы». В ней, в частности, предлагалось внести ряд изменений в построение курса арифметики, прежде всего построить его таким образом, чтобы «основное внимание в нем уделялось не обыкновенным дробям, как это имеет место в настоящее время, а десятичным». [1] Авторы статьи утверждали, что навыки действий над десятичными дробями имеют большую практическую ценность, чем навыки действий над обыкновенными дробями (не считая самых простейших), что учащиеся владеют десятичными дробями значительно менее уверенно, чем обыкновенными и делали вывод: «Чтобы десятичным дробям могло быть уделено внимание на протяжении всего прохождения курса арифметики, целесообразно изучать их в V классе не после обыкновенных дробей, а перед ними». При этом предлагалось вводить десятичные дроби «не как частный случай обыкновенных, а в результате естественного продолжения принципа десятичной нумерации». Такой подход, по мнению авторов статьи, облегчал в известной мере изучение обыкновенных дробей и способствовал облегчению всего курса арифметики, «не снижая его общего научного уровня».
В следующем номере журнала Е.С.Березанская, Г.Б.Гуревич и А.П.Дицман указали на противоречивость аргументации, приведенной в статье, и дали подтвердившийся позднее прогноз: «Вопреки мнению авторов предлагаемая ими последовательность изучения курса арифметики приведет к снижению его научного уровня, так как сведется к заучиванию правил, а не к ясному представлению о сущности выполняемых операций».
Обсуждение проекта новой программы в Московском математическом обществе показало, что большинство выступавших положительно оценили усиление внимания авторов проекта к вычислениям с десятичными дробями, однако возражения против изменения традиционного порядка изучения дробей высказали К.П.Сикорский, Г.В.Давыдов, А.Г.Курош. Интересно высказывание П.С.Александрова по теме дискуссии: «…вести разговор о перенесении центра тяжести с простых дробей на десятичные, или обратно, это все равно, что при изучении таблицы умножения «перенести центр тяжести» на 2 и 5 и оставить на заднем плане умножение на 3 и 7, чтобы твердо знали, что 2х5 — это 10 и не совсем твердо, что 3х7 — это 21. Не может быть сомнений в том, что человек, окончивший среднюю школу, должен уметь складывать не только десятичные дроби, но и простые. И спорить об этом, по меньшей мере, несерьезно». [2]
Мудрый академик оказался неправ: спорить и серьезно отстаивать прежний порядок изучения дробей было необходимо. Тогда не отстояли — теперь восстанавливаем с большим трудом, когда прежние традиции почти утрачены, когда не только учителя, но и авторы учебников не придают значения нормальной логике развития материала в учебнике.
Заметим, что в России уже издавалась «Арифметика» В.Я.Буняковского (СПБ, 1852), в которой десятичные дроби были объединены с целыми числами в одном понятии «десятичных чисел», и действия с ними рассматривались до изучения действий над обыкновенными дробями. Специальная математическая комиссия при главном начальнике военно-учебных заведений, во главе которой в то время стоял М.В.Остроградский, поддержала такой порядок изучения дробей, считая, что это упростит изложение арифметики [3, с. 310]. Но предложенный порядок изучения дробей не закрепился в отечественной школьной практике.
В конце 50-х годов XX в. вместо анализа зарубежного опыта, причин, по которым этот подход не закрепился в практике отечественной школы, и поиска возможностей для совершенствования имевшихся тогда курсов арифметики была предпринята механическая перестановка разделов, которая привела не к упрощению, а к усложнению изложения материала, связанного с десятичными дробями. Чтобы в этом убедиться, давайте заглянем в первый же учебник арифметики под редакцией Н.Х.Спатару, появившийся на новой волне в 1960 г. [4]
Здесь после повторения действий с натуральными числами без всякого разговора об обыкновенных дробях вводятся десятичные дроби: «Число, которое содержит десятичные доли единицы, записанное по правилу записи натуральных чисел с помощью запятой, отделяющей целые единицы от десятых долей единицы, называется десятичной дробью». Дальше десятичные дроби сравнивают, складывают, вычитают и округляют. Изложение материала разворачивается достаточно неэкономно «от частного к общему». Изучается умножение десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д., деление десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д., умножение десятичной дроби на натуральное число (но не наоборот!), нахождение одной десятичной доли данного числа, нахождение десятичной дроби данного числа (чтобы найти десятичную дробь числа, нужно отбросить запятые, перемножить полученные натуральные числа и в произведении отделить справа запятой столько десятичных знаков, сколько их было вместе в данных числах). Заметьте, это все до нахождения, например, 2/3 числа.
Затем вводятся понятие процента и нахождение нескольких процентов числа. Только после этого дается умножение натурального числа на десятичную дробь (умножить на десятичную дробь, значит найти такую часть числа, которая выражена десятичной дробью) и умножение десятичной дроби на десятичную дробь (чтобы умножить одну десятичную дробь на другую, нужно опустить у дробей запятые, умножить полученные натуральные числа и в произведении отделить запятой столько цифр справа, сколько их было у множимого и множителя вместе [после запятой. — А. Ш.]). Наконец, определяется деление десятичной дроби на натуральное число и на десятичную дробь.
Позднее, при подготовке нового учебника Н.Я.Виленкина и др. описанную систему изложения материала упростили, введя ограниченный объем сведений об обыкновенных дробях перед изучением десятичных дробей. Этот порядок изучения дробей сохранился в учебнике до наших дней.
Мы не случайно остановились так подробно на описании давней дискуссии. Дело в том, что и теперь некоторые методисты, видя изъяны в сложившейся системе математического образования в школе, предлагают изучать десятичные дроби до обыкновенных и даже вводить их до всякого упоминания об обыкновенных дробях. Например, М.Б.Волович (Математика в школе, 1994, № 2) предлагает устранить имеющуюся перегрузку учащихся в 5 классах давно придуманным способом: начинать знакомить учащихся с десятичными дробями на основе принципа десятичности в самом начале 5 класса. Разумеется, такой подход имеет право на существование и, возможно, найдет своих почитателей. Жаль только, М.Б.Волович не объясняет, что такое «перегрузка» и нельзя ли с нею бороться иным способом. Да и надежна ли предлагаемая система обучения, если для эффективной организации работы она требует, «чтобы на вопрос, заданный классу, отвечали все; знания каждого ученика оценивались на каждом уроке; чтобы систематически менялась роль обучаемого на роль обучающего, и т.п.» — уж больно жесткие требования к процессу обучения. Если их можно выполнить, то, быть может, не понадобится менять порядок изучения дробей. Кроме того, настораживает и простота рецепта: чтобы избавиться от проблем, возникающих во втором полугодии при обучении вычислениям с десятичными дробями, начните изучать этот материал в первом полугодии.
Думается, что учитель, выбирающий тот или иной учебник для преподавания, должен как можно лучше разобраться с плюсами и минусами предлагаемого подхода. Нам еще не довелось познакомиться с учебником, подготовленным М.Б.Воловичем с коллегами, но даже если им удалось устранить некоторые изъяны описанного выше подхода, можно с уверенностью повторить процитированный выше прогноз: «Вопреки мнению авторов предлагаемая ими последовательность изучения курса арифметики приведет к снижению его научного уровня». И, если уж ссылаться на мнение психологов, то следует упомянуть, что они считают обучение от «общего к частному» более эффективным и полезным для развития учащихся. Можно добавить также, что обучение от «общего к частному», в данном случае от обыкновенных дробей к десятичным, является более экономным. Примеры такого изложения материала учитель найдет в выходящем в этом году учебнике «Математика. 5» под редакцией Г.В.Дорофеева и в готовящемся к переизданию пособии «Арифметика. 5» С.М.Никольского и др.
Список литературы.
[1] Ашкинузе В.Г., Левин В.И., Семушин А.Д. О перестройке программ по математике в свете новых задач школы // Математика в школе., 1959. № 1., с. 40–51.
[2] Обсуждение проекта новой программы в Московском математическом обществе // Математика в школе. 1959. № 3., с.84–86.
[3] Прудников В.Е. Русские педагоги-математики XVIII-XIX веков. Пособие для учителей. М. 1956.
[4] Арифметика. Учебное пособие для V класса восьмилетней и средней школы / Под ред. Спатару Н.Х. — Кишинев: Картя молдовеняскэ, 1960.
Опубликовано: Математика в школе, 1995, № 4.
Дополнение 1. Через девять лет после написания данной статьи нужно исправить некоторые неточности. Учебник «Математика. Для 5 класса с калькулятором», который рекламировал М.Б. Волович, написан им одним. Кстати, оцените название!
Останавливаться на качестве его учебников мы не будем. Обратим внимание читателя лишь на отношение автора к калькуляторам. Приведем целиком фрагмент из его рекламной статьи: «Хотя учителя не жалеют сил и времени, чтобы дети научились считать, их героический труд, как правило, не дает сколько-нибудь ощутимых результатов. Лимит времени невелик, и учителю не до развивающих задач и знакомства с тонкостями математического мышления: ученикам надо «набивать руку», вычисляя, вычисляя, вычисляя. Между тем из этой, казалось бы, тупиковой ситуации давно намечен выход: достаточно дать в руки учеников калькуляторы и правильно организовать работу с ними».
Теперь сообщим, что любовь автора к калькуляторам закончилась в 5 классе и учебник для 6 класса был написан для работы без калькулятора. Добавим также, что учебники не прошли утверждение в Экспертном совете РФ, а прогноз о снижении научного уровня изложения материала при изменении традиционного порядка изучения обыкновенных и десятичных дробей в них блестяще подтвердился.
А в 2003 г. М.Б.Волович опять начал работу по внедрению своих учебников. Интересно, что на этот раз он не рискнул отправиться в самостоятельное плавание, указав на обложке учебника для 5 класса «Под редакцией А.Г.Мордковича». Интересно и другое: А.Г.Мордкович категорически отрицает свое участие в учебниках М.Б.Воловича и считает, что учебники для его линии уже написаны им в соавторстве с И.И.Зубаревой (см. Открытое письмо А.Г. Мордковича в «Математику в школе», № 10/2003). Чудны дела твои, Господи!
01.01.2004.
Дополнение 2. См. также мою статью Что и почему у М.Б.Воловича не так как у всех… о публикациях М.Б. Воловича о своих и чужих учебниках.
20.03.2005.