Не спешите применять производную — 2
Шевкин А.В.
Рассмотрим еще одну задачу на максимум-минимум, которую можно решить без применения производной.
|
В пирамиде SABC ребра SA и BC перпендикулярны, SA = a, BC = b. Определите наименьшую площадь сечения пирамиды плоскостью, параллельной отрезкам SA и BC. |
Решение (Ёлкин С., 11 А, школа № 679 г. Москвы, 2005).
Так как через ребро AS, параллельное плоскости сечения, проходят плоскости SAB и SAC, пересекающие плоскость сечения по прямым KN и LM, то KN и LM параллельны AS. Тогда KN || LM. Аналогично доказывается, что KL || MN. Следовательно, четырехугольник MNKL является параллелограммом, а так как SA и BC перпендикулярны по условию, то этот параллелограмм является прямоугольником и его площадь есть MN х NK.
Обозначим n = KN:SA, k = MN:CB. Тогда KN = an и MN = kb, откуда SMNKL = abnk. Выразим k через n. Из рассмотрения пар подобных треугольников BKN и BSA, ANM и ABC получаем, что k = MN:CB = AN:AB = (AB – BN):AB = 1 – BN:AB = 1 – KN:SA = 1 – n. Тогда SMNKL = abnk = abn(1 – n) = ab(n – n2). Так как KN < SA, то 0 < n < 1.
Теперь очевидно, что площадь сечения будет наибольшей при том значении n, при котором выражение n – n2 достигает своего наибольшего значения на интервале (0; 1).
Рассмотрим функцию f (n) = n – n2 на интервале (0; 1). Это квадратичная функция, с отрицательным коэффициентом при n2, она достигает наибольшего значения в точке
n = 0,5, принадлежащей интервалу (0; 1).
Следовательно, площадь сечения будет наибольшей при n = 0,5, это наибольшее значение площади равно ab(0,5 – (0,5)2) = 0,25ab.
Ответ. 0,25ab.