Задачу можно решить и без площади
На канале Валерия Казакова Наглядная геометрия помещена задача под заголовком Задачка на «отлично». 8 кл. Решить без тригонометрии.
1. В остроугольном треугольнике ABC угол A в 2 раза больше угла C, AB = 8, BC = 12. Найдите AC.
Решение, показанное ведущим канала, в заключительном кадре выглядит так.
Источник. Задачка на «отлично». 8 кл. Решить без тригонометрии | Наглядная геометрия | Дзен. https://dzen.ru/video/watch/68297c94407fd738f6d9adac
К решению через вычисление высоты с помощью площади треугольника никаких претензий. Но здесь можно обойтись без площади.
Решение. Через вершину B проведём прямую, параллельную AC. Пусть биссектриса угла A пересекает её в точке E, а BC в точке D.
Углы BEA, EAC и EAB равны, следовательно, AB = BE = 8. Проведём прямую DM, перпендикулярную AC, она пересекает BE в точке N. Так как в треугольнике ADC углы A и C равны, то высота DM является медианой. Обозначим AC = x, тогда
AM = MC = x/2.
Треугольник BDE тоже равнобедренный, его углы B и E равны углу C, поэтому его высота DN является медианой и BN = 8 : 2 = 4, тогда и HM = 4.
Теперь выразим с помощью теоремы Пифагора квадрат высоты BH из треугольников ABH и CBH:
Ещё одна идея дополнительного построения в задачах, для решения которых полезно провести биссектрису, не будет лишней.