Задача с Международной олимпиады среди девушек 2013 года. Второй способ решения
На канале Валерия Казакова Наглядная геометрия разобрано решение задачи с Международной олимпиады среди девушек 2013 года.
1. Дан треугольник ABC. Отрезок AC продлили за точку C так, что AC = CK. Отрезок СB продлили за точку B так, что BD = 2CB. Точки A и D соединили и оказалось, что AD = BK и угол BAD равен 36°. Найдите угол ADB.
Решение, показанное ведущим канала, в заключительном кадре выглядит так.
Источник. Международной олимпиады среди девушек! | Наглядная геометрия | Дзен https://dzen.ru/video/watch/6728810527252a63a8fa27ec
Здесь использовано свойство медиан треугольника, которые в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершин треугольника.
Рассмотрим другое решение, оно не проще разобранного на канале, но тоже интересное.
Решение. Отрезок AB продлим за точку Bтак, что AB = BM. Точку K соединим с точками B и M. Треугольники ABC и AMK подобны, так как у них стороны, образующие общий угол A, пропорциональны: MK : BC = AK : AC = 2, значит,
AB = BM.
Так как у подобных треугольников ABC и AMK углы ABC и AMK равны, то прямые MK и BC параллельны.
Так как MK = 2BC = BD, то противоположные стороны четырёхугольника MKBD и равны, и параллельны. Этот четырёхугольник является параллелограммом, в нём BK = DM, значит, DM = AD.
Треугольники ADB и MDB равны по трём сторонам, значит, равные углы ABD и MBD прямые, в прямоугольном треугольнике ABD угол D равен 90° – 36° = 54°.
Ответ. 54°.
Получилось не сильно длиннее, но тоже интересно.