Задача, с которой В. И. Арнольд испытал в детстве радость открытия
Академик В. И. Арнольд вспоминал, что испытал первое математическое потрясение, когда появился настоящий учитель математики Иван Васильевич Морозкин.
«Я помню, — писал он, — задачу о двух старушках, вышедших одновременно навстречу друг другу, встретившихся в полдень и достигших чужого города: одна в 4 ч по полудни, а другая в 9. Требовалось узнать, когда они вышли. Алгебру тогда ещё не учили. Придумав «арифметическое» решение (основанное на соображениях размерности или подобия), я впервые испытал ту радость открытия, стремление к которой и сделало меня математиком» (Квант, 1990/7).
Сформулируем задачу ещё раз.
1. Две старушки вышли одновременно навстречу друг другу из двух городов. Они встретились в полдень и достигли чужого города: первая в 4 ч по полудни, а вторая в 9 ч. Нужно узнать, когда они вышли из своих городов.
Гениальное решение школьника без алгебры могло быть таким.
Как до такого решения додумался школьник, не изучавший алгебру и уравнения, не совсем понятно, но он впоследствии стал академиком и самым цитируемым советским математиком своего времени.
Рассмотрим решения этой задачи, основанные на трёх идеях: составление уравнения с неизвестным в знаменателе (стандартный школьный метод), обратная пропорциональная зависимость скорости равномерного движения и времени движения на фиксированном участке пути (как и в гениальном решении), метод подобия.
Последнее уравнение (более простое, по сравнению с уравнением в первом способе) также имеет единственный положительный корень 6. Итак, старушки были в пути 6 ч и вышли из своих городов в 6 ч утра.
Эта задача под номером 5.61 упоминается в сборнике задач для учащихся [1] и под номером 413 в книге для учителя [2].
Источники:
1. Шевкин А. В. Текстовые задачи по математике: 7-11 классы — М: — ИЛЕКСА. 2017.
2. Шевкин А. В. Текстовые задачи в школьном курсе математики: 5-11 классы — М: — ИЛЕКСА. 2019.