Задача про правильную пятиконечную звезду
Решим задачу на площади, в которой потребуется применить тригонометрию.
1. В правильном пятиугольнике провели все диагонали и получили правильную пятиконечную звезду (рис. выше). Найдите отношение площади этой звезды к площади пятиугольника. Точный ответ выразите в радикалах.
Решение. Считаем известными свойства правильного пятиугольника — равенство диагоналей, симметричность относительно прямых, проходящих через вершины пятиугольника и его центр.
Вершины правильного пятиугольника делят окружность на пять равных дуг по 72°. Центральный угол AOE равен 72°, а вписанный угол AFE, опирающийся на ту же дугу, равен 36° (рис. слева), аналогично ∠FAG = 36°. Биссектриса AO делит угол FAG пополам, ∠FAO = ∠GAO =18°, аналогично ∠AFD = 18°.
В равнобедренном треугольнике AFE ∠FAE = ∠FEA = 72°. В треугольниках OAC и ABC
∠AOC = ∠BAC = 36°, ∠OCA = 90°, эти треугольники подобны по двум углам.
Площади треугольников AOB и AOC составляют десятую часть от площадей звезды и пятиугольника соответственно. Поэтому отношение площадей звезды и пятиугольника равно отношению площадей треугольников AOB и AOC.
