Задача про гномов и молоко
На канале Александра Долгих рассмотрена задача под названием Задача, которая перессорила умных дядь. Сформулируем задачу.
1. Семь гномов сидят за круглым столом. Перед каждым стоит кружка с молоком. Первый гном берёт свою кружку и разливает всем остальным поровну своё молоко. Затем это делает второй. Потом третий… Потом седьмой. После чего у каждого стало столько же молока, сколько было вначале. Вопрос: сколько молока было у каждого гнома в самом начале (до первого переливания), если в сумме у них в кружках 2 литра молока?
Источник. https://dzen.ru/a/aAYKAMEuQSTb34gS
Беда в том, что на канале сначала было опровергнуто неверное решение, вытекающее из предположения, что сначала у всех гномов молока было поровну, а потом с потолка упал ответ, появление которого ведущий канала никак не объяснил. Давайте разбираться.
Первое, чего не надо делать умным дядям, знающим про системы линейных уравнений с несколькими неизвестными, — не надо вводить семь или шесть букв и пытаться составлять уравнения. Закопаетесь. Кстати, суммарный объём 2 литра дан для того, чтобы усложнить решение задачи умным дядям. Этим условием мы воспользуемся в самом конце решения задачи, считать будем доли всего объёма.
Давайте рассмотрим «уменьшенную копию» задачи, чтобы разобраться, что там на самом деле происходит с долями молока. При решении сложной задачи иногда бывает полезно рассмотреть её «уменьшенную копию».
2. Три гнома сидят за круглым столом. Перед каждым стоит кружка с молоком. Первый гном берёт свою кружку и разливает всем остальным поровну своё молоко. Затем это делает второй. Потом третий. После чего у каждого стало столько же молока, сколько было вначале. Вопрос: сколько молока было у каждого гнома в самом начале (до первого переливания), если в сумме у них в кружках 2 литра молока?
Решение. Третий гном последним переливанием получил в своей кружке столько молока, сколько было — его исходная доля молока — 0.
Пусть доли молока у первого и у второго гнома были a и b соответственно, сумма этих дробей равна 1. Отразим переливания молока в таблице.
Из условий a + b = 1 и 5a/4 + b/2= a получим, что a = 2b, то есть у первого должно быть 2 доли, у второго 1 доля, у третьего 0 долей из трёх. У первого должно быть 2/3, а у второго 1/3, у третьего 0/3 всего молока. Или в литрах: 4/3, 2/3 и 0 л.
Проследим за долями всего молока при переливаниях.
Представим, что у гномов были красная кружка с 2/3 объёма молока, зелёная кружка с 1/3 молока и синяя пустая кружка. Они могли не мучиться с переливаниями, а вместо переливания передавать кружки по кругу.
Чтобы и у семи гномов получилось такое простое переливание, их доли должны быть равны (от седьмого к первому):
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 из 0 + 1 + 2+ 3 + 4 + 5 + 6 = 21, то есть
0, 1/21, 2/21, 3/21, 4/21, 5/21, 6/21. Или в литрах:
0, 2/21, 4/21, 6/21, 8/21, 10/21, 12/21.
Для самопроверки можно заполнить таблицу переливаний, указав в клетках число 21-х долей.
Было: 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0
стало 1: 5, 4, 3, 2, 1, 0, 6
стало 2: 4, 3, 2, 1, 0, 6, 5
стало 3: 3, 2, 1, 0, 6, 5, 4
стало 4: 2, 1, 0, 6, 5, 4, 3
стало 5: 1, 0, 6, 5, 4, 3, 2
стало 6: 0, 6, 5, 4, 3, 2, 1
стало 7: 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0
Итак, у гномов с 1-го по 7-й было 12/21, 10/21, 8/21, 6/21, 4/21, 2/21, 0 л молока.