Задача привела к доказательству теоремы
Рассмотрим решение геометрической задачи, которая подтолкнула нас к рассмотрению более общего случая, к доказательству теоремы. Валерий Казаков на своём канале разобрал решение задачи под заголовком Абитура в шоке! Юзеры готовятся к экзаменам. Итак, задача.
1. В прямоугольную трапецию ABCD вписали окружность. Точка P пересечения диагоналей трапеции удалена от боковых сторон на расстояния 5 и 4. Найдите радиус окружности.
Заключительный кадр решения выглядит так.
Источник. Абитура в шоке! Юзеры готовятся к экзаменам. | Наглядная Геометрия | Дзен https://dzen.ru/video/watch/68148802c11f387ebfb84726
Валерий Казаков показал хороший приём решения задачи. У автора этих строк тот же ответ получился другим способом — без использования числа 4 в решении. И тут закрался вопрос: а не равен ли отрезок KP в этой задаче радиусу окружности — независимо от длины отрезка PM? Давайте докажем это.
Решение. Обозначим прямоугольную трапецию ABCD (AB — перпендикуляр к основаниям), P — точка пересечения диагоналей трапеции, PK = h — перпендикуляр к AB, CH — высота трапеции, R — радиус вписанной в неё окружности, BK = x, AK = 2R – x.
Тем самым мы доказали теорему:
В прямоугольной описанной трапеции расстояние от точки пересечения диагоналей до боковой стороны, перпендикулярной основаниям трапеции, равно радиусу вписанной окружности.