Задача, которую не решили в начальной школе
Рассмотрим решение задачи, которая на канале журнала КОД дана под заголовком «Самая сложная задача для школьников, которую никто не смог решить». Итак, задача.
1. Заполните пустые клетки цифрами от 0 до 9, используя каждую всего по одному разу, так, чтобы получились три верных равенства.
Автор решения утверждает, что это была задача из домашней работы для школьников начальных классов, а решил её при помощи манипуляций с верными числовыми равенствами, да ещё и с получением в результате дробной суммы, выраженной десятичной дробью, чего в начальной школе не изучают.
Автор решения переписал эти равенства в виде сумм, предполагая, что они верные, сложил и получил верное числовое равенство:
a + b + e + h + i = c + d + f + g + j. (1)
Взял другое верное числовое равенство из условия, что сумма десяти цифр от 0 до 9 равна 45:
a + b + e + h + i + c + d + f + g + j = 45. (2)
Из равенств (1) и (2) следует, что каждая часть равенства (1) равна половине 45, то есть дробному числу, чего быть не может, так как речь идёт о сумме натуральных чисел.
Следовательно, расставить 10 цифр указанным способом в клетки таблицы нельзя.
Всё хорошо, но трудно представить, что это решение будет понятно ученикам начальной школы. Рискнём предложить второе решение, которое тоже сложно адресовать ученикам начальной школы.
Перейдём в разговоре от сложения цифр к сложению натуральных чисел, записанных указанными цифрами, так как нам потребуются свойства чётных и нечётных чисел.
Заметим, что число 0 не может стоять во втором и в третьем равенствах, так как у нас нет одинаковых чисел, а разность e – f = g можно записать в виде суммы f + g = e. Где бы ни стоял 0 в первом равенстве, это равенство можно переписать в виде суммы двух чисел, равной третьему числу.
Задача 1 свелась к другой задаче.
2. Можно ли расставить девять натуральных чисел от 1 до 9 в клетки так, чтобы получилось три верных числовых равенства. Если можно, то покажите, как это сделать, если нельзя, то объясните, почему.
Решение. В левой части каждого равенства может оказаться сумма чётных чисел (Ч + Ч = Ч), нечётных чисел (Н + Н = Ч) или чётного и нечётного числа
(Ч + Н = Н или Н + Ч = Н). Из чисел от 1 до 9 имеется четыре чётных числа и пять нечётных чисел.
Равенства Ч + Ч = Ч не может быть среди наших равенств, так как на другие равенства нам не хватит чётных чисел. Но три равенства Ч + Н = Н составить невозможно, так как нам не хватит нечётных чисел. Следовательно, расставить 9 чисел указанным способом в клетки таблицы нельзя.
Какой их этих двух способов окажется более понятным школьникам и в каком возрасте — это зависит от многих обстоятельств. Но вторая задача вполне уместна при изучении свойств натуральных чисел в 5 классе.