Задача 20 из варианта 21 сборника «50 вариантов». ЕГЭ 2027 профильного уровня
Рассмотрим решение задачи 20 из варианта 21 сборника «50 вариантов» для подготовки к ЕГЭ-2027 [1].
20. Над парами целых чисел проводится операция: из пары (a; b) получается пара (3a + b;3b – a).
а) Можно ли из какой-то пары получить пару (7; 1)? б) Верно ли, что если пара (c; d) может быть получена из какой-то пары с помощью данной операции, то и пара (d; –с) тоже может быть получена из какой-то пары с помощью данной операции? в) Зададим расстояние между парами целых чисел (a; b) и (с; d) выражением |a – c| + |b – d|. Найдите наименьшее расстояние от пары (9; –2) до пары, полученной из какой-то пары с помощью данной операции.
б) Надо выяснить, можно ли из пары целых чисел (x; y) получить пару (d; –c), если из пары (a; b) получается пара (c; d)?
Из пары (a; b) получается пара (c; d), значит, с = 3a + b, d = 3b – a. Из пары (x; y) получается пара (d; –c), значит, d = 3x + y, –c = 3y – x.
Так как a и b – целые числа, то нашлась пара целых чисел (b; –a), которая данной операцией переводится в пару (d; –c) при условии, что пара (a; b), переводится в пару (c; d).
в) Так как a, b, c и d – целые числа, то расстояние r = |a – c| + |b – d| выражается целым числом.
Для пары чисел (9; –2) введём обозначения, a= 9, b = –2. Пусть из пары целых чисел (x; y) получили пару (3x + y; 3y – x), c = 3x + y, d = 3y – x.
Надо найти наименьшее значение r = |9 – 3x – y | + |–2 + x – 3y|.
Она имеет целочисленное решение (3; 0), значит, r может равняться 1. Это и есть наименьшее значение r.
Ответ. а) Да; б) да; в) 1.
Замечание. Обратим внимание на то, что расстояние между парами целых чисел (a; b) и (c; d) равно расстоянию между точками (a; b) и (c; d) лишь в том случае, если a = b или c = d. Например, для пар чисел (3; 4) и (0; 0) расстояние между парами чисел равно |3 – 0| + |4 – 0| = 7, а расстояние между точками (3; 4) и (0; 0) равно 5.
Используемая литература
1. Математика. Профильный уровень. Типовые варианты экзаменационных заданий (50 вариантов). Под ред. И. В. Ященко. – Москва: Экзамен, 2027.
