Задача 20 из варианта 1 сборника «50 вариантов». ЕГЭ 2027 профильного уровня
Рассмотрим решение задачи 20 из варианта 1 сборника «50 вариантов» для подготовки к ЕГЭ-2027 [1].
20. На доске написано некоторое количество двузначных натуральных чисел, среди которых могут быть одинаковые. С каждым из этих чисел проделывают одну из двух операций: либо увеличивают цифру в разряде десятков на 2 и уменьшают цифру в разряде единиц на 8, либо уменьшают цифру в разряде десятков на 2 и увеличивают цифру в разряде единиц на 5. Все числа, получившиеся в результате, оказались двузначными натуральными.
а) Может ли сумма исходных чисел оказаться на 116 меньше суммы получившихся чисел?
б) Может ли количество чисел на доске равняться 23, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел?
в) Какое наибольшее количество чисел может быть написано на доске, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел и меньше 1255?
Решение. На доске написаны две группы двузначных чисел. Первая группа состоит из чисел, у которых увеличивают цифру в разряде десятков на 2 и уменьшают цифру в разряде единиц, а в результате получают двузначное число. В ней могут быть числа из списка 18, 19, … 78, 79 (все оканчиваются на 8 или 9). Для них можно выполнить описанную операцию, получив числа из списка 30, 31, …90, 91 (все оканчиваются на 0 или 1).
Описанную операцию не надо путать с увеличением произвольного двузначного числа (до 87) на 12, с помощью которой из 17 можно получить 29, но при этом цифра десятков не увеличилась на 2, а цифра единиц не уменьшилась на 8. Число 17 не входит в первую группу.
Вторая группа состоит из чисел, у которых уменьшают цифру в разряде десятков на 2 и цифру в разряде единиц увеличивают на 5, а в результате получают двузначное число. В ней могут быть числа из списка 30, 31, 32, 33, 34, … 90, 91, 92, 93, 94 (все оканчиваются на цифры от 0 до 4). Для них можно выполнить описанную операцию, получив числа из списка 15, 16, …75, 79 (все оканчиваются на цифры от 5 до 9).
а) Пусть в первой группе x чисел, каждое увеличилось на 12, увеличение суммы составило 12x. Пусть во второй группе y чисел, каждое уменьшилось на 15, уменьшение суммы составило 15y. Чтобы сумма исходных чисел оказалась на 116 меньше суммы получившихся чисел, должно выполняться равенство:
15y – 12x = 116.
Но для натуральных x и y это невозможно, так как левая часть равенства делится на 3, а правая – нет. Ответ на вопрос а) – нет.
б) Чтобы сумма исходных чисел была равна сумме получившихся чисел, должно выполняться равенство 15y = 12x, то есть 5y = 4x, или y = 4k, а x = 5k, где k – натуральное число. Тогда общее количество чисел двух групп равно 4k + 5k = 13k, что не равно 23 ни при каком натуральном k. Ответ на вопрос б) – нет.
в) Наибольшее количество чисел может быть написано на доске, если мы возьмём наименьшие равные между собой числа из каждой группы. Так как сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел, то количество чисел в первой и второй группах 4k и 5k соответственно.
Сумма всех чисел равна 4k ∙ 18 + 5k ∙ 30 = 222k, она должна быть меньше 1255.
Наибольшее натуральное решение неравенства 222k < 1255 есть k = 5.
Наибольшее количество чисел на доске, удовлетворяющих условиям задания в), равно 4k + 5k = 9k = 9 ∙ 5 = 45.
Ответ. а) Нет; б) нет; в) 45.
Используемая литература
1. Математика. Профильный уровень. Типовые варианты экзаменационных заданий (50 вариантов). Под ред. И. В. Ященко. – Москва: Экзамен, 2027.
Замечание. Заметка предназначена для обучения, решение задачи на экзамене может быть записано короче.