За что мы любим геометрию?
На канале Валерия Казакова Наглядная геометрия помещена задача под заголовком Вот за это и любят геометрию!
1. В квадрате ABCD точки K и N выбраны на сторонах BC и CD соответственно так, что BK = 6,
DN = 8. Центр O квадрата соединили с серединой M отрезка KN. Найдите расстояние OM.
Решение, показанное ведущим канала, в заключительном кадре выглядит так.
Здесь применялась теорема Фалеса, свойство средней линии треугольника, теорема Пифагора. Хорошее решение.
Источник. Вот за это и любят геометрию! | Наглядная Геометрия | Дзен https://dzen.ru/video/watch/67c2b99a0bf49c5278f4994c
Так за что мы любим геометрию? Возможно, за то, что, в отличие от алгебры, в ней меньше действий по шаблону, возможны разные способы решения задач. Именно поэтому изучение геометрии способствует развитию творческих способностей школьников. Поищем-ка и мы другой способ решения.
Решение. Построим точку E, симметричную точке N относительно центра квадрата O, EO = ON. Центр O квадрата является его центром симметрии, поэтому отрезки ND и BE симметричны относительно точки O, BE = 8.
По теореме Пифагора в треугольнике BKE вычислим KE = 10, по свойству средней линии треугольника OM = 5.
Ответ. 5.
Если учащиеся не изучали симметрию относительно точки, то надо проводить отрезок NE через O, доказывать равенство треугольников DON и BOE, чтобы получить BE = 8.
Рассмотрим ещё одну задачу с того же канала.
2. Стороны угла A содержат две стороны правильного девятиугольника как показано на рисунке. Найдите величину угла A.
Валерий Козаков показал одно из решений задачи у себя на канале с применением теоремы о сумме внешних углов выпуклого многоугольника, которую он назвал королевской теоремой. Вот итоговый кадр решения.
Источник. Всё решает королевская теорема! | Наглядная Геометрия | Дзен https://dzen.ru/video/watch/67b604c40ce5cb0320d7c635
Развивая тему заметки, покажем два не менее интересных способа решения задачи без «королевской теоремы».
Решение. Опишем около правильного девятиугольника окружность.
Каждая дуга окружности, соединяющая две соседние вершины, содержит 360° : 9 = 40°. А дальше есть продолжения решения двумя способами.
1-й способ. Соединим точки B и C. В треугольнике ABC углы B и C вписанные, они опираются на дуги в 120°, значит, углы B и C содержат по 60°. Следовательно, искомый угол A содержит 60°.
2-й способ. Угол A между секущими равен половине разности угловых величин дуг окружности, внутри этого угла. Дуга BC содержит 200°, дуга MN — 80°, следовательно, угол A равен
(200° – 80°) : 2 = 60°.
Ответ. 60°.
Под решением Валерия Казакова накопилось много разных решений — и все без «королевской теоремы».
Вот три решения, которые ясны из рисунков.
Вот за эту возможность находить различные способы решения задачи мы и любим геометрию!