Вневписанные окружности
Решайте с нами. Решайте, как мы. Решайте лучше нас!
Рассмотрим основные соотношения, связанные с вписанной, описанной и вневписанными окружностями.
Пусть дан треугольник ABC, длины сторон которого AB = c, BC = a, AC = b, p — полупериметр треугольника ABC. Пусть вписанная окружность с центром O и радиусом r касается сторон AB, BC и AC в точках C1, A1 и B1 соответственно, R — радиус окружности, описанной около треугольника ABC (рис. 1).
26.09.2017. Решения опубликованы на странице Решайте с нами! (Боковое меню сайта).
1. Докажите: а) AC1 = AB1 = p – a; б) BA1 = BC1 = p – b; в) CA1 = CB1 = p – c.
2. Докажите, что в прямоугольном треугольнике ABC, угол С прямой, r = p – c.
Окружность называют вневписанной окружностью данного треугольника, если она касается одной стороны треугольника и продолжений двух других его сторон.
Пусть дана вневписанная окружность с центром O1 и радиусом R1, касающаяся стороны BC в точке K и продолжений сторон AB и AC в точках C2 и B2 соответственно.
3. Докажите: а) AC2 = AB2 = p; б) C1C2 = B1B2 = a; в) CK = CB2 = p – b.
Некоторые сведения из задач 1–3 пригодятся при решении задачи 4.
Пусть R1, R2 и R3 — радиусы вневписанных окружностей с центрами O1, O2 и O3, касающихся сторон длины a, b и c соответственно
4.* Докажите, что OO1 + OO2 + OO3 ≤ 6R.
Через несколько дней мы опубликуем решения задач в разделе Решайте с нами! Очень надеемся, что кто-то откликнется и пришлёт решения задачи 4 по адресу avshevkin@mail.ru .
P.S. В задаче 4 исправлен знак неравенства на противоположный. Приношу извинения за опечатку. Спасибо М.А. Куканову, который уже прислал своё решение.
А.В. Шевкин.
Обновление 17.09.2017.
26.09.2017. Решения опубликованы на странице Решайте с нами! (Боковое меню сайта): Вневписанные окружности