Владение методом важнее запоминания готовой формулы (продолжение)
Вот ещё одна задача с того же канала. Она дана под заголовком «По гипотенузе и радиусу! Включайся».
3. В прямоугольный треугольник ABC вписали окружность радиуса 9. Найдите площадь треугольника, если гипотенуза AB равна 101.
На канале приведено«взрослое» алгебраическое решение. Составлена система двух уравнений с двумя неизвестными. Из геометрии использовали теорему Пифагора и формулу радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник. Вот итоговый кадр решения.
В решении использована готовая формула радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник. А она получена с использованием свойства касательных, проведённых к окружности из одной точки.
Для решения задачи воспользуемся этим свойством, а площадь треугольника выразим через радиус и полупериметр.
Так как касательные к окружности AN и AM, BN и BK, CM и CK попарно равны, то полупериметр треугольника равен p = AN + NB + CK = 101 + 9 = 110. Тогда площадь треугольника равна S = pr = 110 ∙ 9 = 990.
Ответ. 990.
Получилось немного короче.
Подведём итог. Учащимся полезно знать возможно больше теорем и формул, но ещё полезнее знать методы, с помощью которых доказаны эти теоремы и формулы. Теорема о свойстве касательных довольно часто помогает решению задач, только начинать надо с самой теоремы, а не с формулы, выведенной с её помощью.
