Упростим решение «ураганной» задачи по геометрии

На канале «Наглядная Геометрия | Дзен» разобрали решение задачи по геометрии под заголовком Задача – просто ураган из Флориды!
1. Внутри квадрата ABCD построили полуокружность с центром O в середине стороны AD, провели к ней касательную BK, пересекающую CD в точке M. Затем в треугольник BCM вписали окружность радиуса 3. Найдите сторону квадрата (рис. выше).
На канале показано решение задачи с дополнительным построением. Вот итоговый кадр решения задачи.
Источник. Задача – Просто ураган из Флориды! | Наглядная Геометрия | Дзенhttps://ya.ru/video/preview/12161899720988748385
Давайте упростим её решение. Покажем, что можно выполнить более простые дополнительные построения, не выходить за пределы квадрата и обойтись одним неизвестным.
Решение. Обозначим: AB = x, тогда AO = OD = x/2.
Так как радиус OK полуокружности перпендикулярен касательной BK, радиусы EN и EP окружности перпендикулярны касательным MN и MP, а MK и MD — равные касательные к одной окружности, то имеется три пары треугольников BAO и BKO, ODM и OKM, ENM и EPM, равных по катету и гипотенузе. Тогда OB и OM — биссектрисы смежных углов, угол между ними прямой, углы AOB и MOD в сумме составляют 90° — из чего следует равенство углов AOB и OMD. Аналогично показывается, что углы PEM и DMO равны. Прямоугольные треугольники ABO, DOM и PME подобны по двум углам.
AO : MD = AB : OD = 2, откуда следует, что MD = x/4,
AB : PM = AO : EP = 2, откуда следует, что PM = 6.
Так как AB = DM + MP + PC, то составим уравнение:
x = x/4 +6 + 3,
x = 12.
Ответ. 12.
И никакого урагана из Флориды на горизонте…