Новости

Упростим решение «ураганной» задачи по геометрии

На канале «Наглядная Геометрия | Дзен» разобрали решение задачи по геометрии под заголовком Задача – просто ураган из Флориды!

1. Внутри квадрата ABCD построили полуокружность с центром O в середине стороны AD, провели к ней касательную BK, пересекающую CD в точке M. Затем в треугольник BCM вписали окружность радиуса 3. Найдите сторону квадрата (рис. выше).

На канале показано решение задачи с дополнительным построением. Вот итоговый кадр решения задачи.

-2

Источник. Задача – Просто ураган из Флориды! | Наглядная Геометрия | Дзенhttps://ya.ru/video/preview/12161899720988748385

Давайте упростим её решение. Покажем, что можно выполнить более простые дополнительные построения, не выходить за пределы квадрата и обойтись одним неизвестным.

Решение. Обозначим: AB = x, тогда AO = OD = x/2.

-3

Так как радиус OK полуокружности перпендикулярен касательной BK, радиусы EN и EP окружности перпендикулярны касательным MN и MP, а MK и MD — равные касательные к одной окружности, то имеется три пары треугольников BAO и BKOODM и OKM, ENM и EPM, равных по катету и гипотенузе. Тогда OB и OM — биссектрисы смежных углов, угол между ними прямой, углы AOB и MOD в сумме составляют 90° — из чего следует равенство углов AOB и OMD. Аналогично показывается, что углы PEM и DMO равны. Прямоугольные треугольники ABODOM и PME подобны по двум углам.

AO MD = AB OD = 2, откуда следует, что MD = x/4,
AB PM = AO : EP = 2, откуда следует, что P= 6.

Так как AB DM + MP + PC, то составим уравнение:

x = x/4 +6 + 3,
x = 12.

Ответ. 12.

И никакого урагана из Флориды на горизонте…

Добавить отзыв
www.Shevkin.ru | © 2004 - 2019 | Копирование разрешено с ссылкой на оригинал