Теорема косинусов вам в помощь
Рассмотрим решение геометрической задачи, решённой на канале Валерия Казакова с помощью формулы, которую знает не всякий школьник. Задача дана под заголовком «Секретная формула! Завал в профильном классе!». Итак, задача.
1. В треугольнике ABC провели биссектрису BK. Она разделила сторону AC на отрезки AK = 3 и KC = 4. Найдите длину стороны AB, если BK= 6.
Заключительный кадр решения выглядит так.
Источник. Секретная формула! Завал в профильном классе! | Наглядная геометрия | Дзен
Валерий Казаков доказал формулу для квадрата биссектрисы угла треугольника, а потом с её помощью нашёл длину стороны AB. Но проблема заключается в том, что не все учащиеся знают эту формулу, её нет в учебниках, поэтому при решении задачи формулу придётся доказать.
А мы решим эту задачу, используя классический для этой задачи метод — применим теорему косинусов.
Решение. По свойству биссектрисы угла треугольника AB : BC = AK : KC = 3 : 4.
Обозначим AB = 3x, BC = 4x, ∠ABK = ∠CBK = φ.
Вычислений здесь чуть больше, но применена теорема косинусов, которую должны знать все учащиеся, и не только в профильном классе.
А вот ещё одна задача из того же источника.
2. Из вершины угла A треугольника ABC, величина которого 45°, провели высоту AH, которая разделила противоположную сторону на отрезки BH = 3 и CH = 2. Найдите площадь треугольника ABC.
Источник. Обалденная задача из США! 9 класс. | Наглядная геометрия| Дзен https://dzen.ru/video/watch/68d8dce66dc58f0d867af141
Валерий Казаков показал два способа решения задачи – при помощи формулы тангенса разности двух углов и при помощи достроения треугольника до квадрата со стороной AH.
К обоим решениям у нас нет никаких вопросов, но более массовым мы ожидаем решение этой задачи при помощи теоремы косинусов и теоремы Пифагора.
Ответ. 15.