Свойство пересекающихся хорд бьёт американский метод
Рассмотрим решение геометрической задачи, которая на канале Валерия Казакова решена с использованием теоремы Пифагора. Задача дана под заголовком «Американский метод. У нас 50 секунд!». Итак, задача.
1. Окружность проходит через вершины B и C квадрата ABCD и касается стороны AD в точке P. Из точки M меньшей дуги BC провели серединный перпендикуляр MK к отрезку BC. Найдите площадь квадрата, если MK = 2.
Заключительный кадр решения выглядит так.
Источник. Американский метод. У нас 50 секунд! | Наглядная Геометрия | Дзен https://dzen.ru/video/watch/68e0cd59a4a3d2187fc5d893
Валерий Казаков показал, как эту задачу можно решить, применяя теорему Пифагора, приводящую к полному квадратному уравнению, а мы решим эту задачу при помощи свойства пересекающихся хорд, приводящего к неполному квадратному уравнению. Экономия чисто символическая (мы не вычисляем радиус окружности), но решение будет чуть проще и потребует меньше 50 секунд.
Решение. Прямая MK перпендикулярна хорде BC, делит её пополам в точке P, следовательно, центр окружности, равноудалённый от точек B и C, лежит на прямой MP. То есть MP — диаметр окружности.
Обозначим BK = KC = x, тогда KP = 2x. По свойству пересекающихся хорд верно равенство:
BK ∙ KC = MK ∙ KP,
x ∙ x = 2 ∙ 2x,
откуда получаем x = 4.
Тогда площадь квадрата равна 2x ∙ 2x = 8 ∙ 8 = 64.
Ответ. 64.