Простые и сложные задачи на совместную работу
Под работой в этих задачах понимается именно работа, или наполнение бассейна, или выпивание кади пития и пр. К простым задачам на совместную работу для двух работников отнесём две задачи.
В первой задаче известно время выполнения работы каждым из двух работников, а требуется найти время её выполнения при совместной работе.
1. Первый ученик уберёт класс за 20 минут, второй за 30 минут. За сколько минут они уберут класс при совместной работе.
Первый ученик в минуту убирает 1/20 класса, второй 1/30, а вместе 1/20 + 1/30 = 1/12 класса. При совместной работе они уберут класс за 1 : 1/12 = 12 минут.
Во второй задаче известно время выполнения работы одним из двух работников, время выполнения работы при совместной работе, а требуется найти время выполнения работы вторым работником.
2. Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого. Един человек выпьет кадь пития в 14 дней, а со женою — в 10 дней. Ведательно есть, в колико дней жена его особно выпьет тое же кадь.
Человек (муж) выпивает в день 1/14 кади, с женой 1/10, а жена его особно (отдельно) выпивает в день 1/10 – 1/14 = 1/35 кади. Жена выпьет кадь пития за 1 : 1/35 = 35 дней.
Простые задачи на совместную работу можно немного усложнить, увеличив число работников, но неизменным в этих задачах остаётся одно условие: объём работы, которую надо выполнить, не изменяется.
Пример такой усложнённой задачи прислал читатель А. Н. после того, как заметка была опубликована в Интернете.
3. Когда открыты первая, вторая и третья трубы, бассейн заполняется водой за 12 минут. Если открыты вторая, третья и четвёртая трубы, то бассейн заполняется за 15 минут, если первая и четвёртая трубы, — за 20 минут. За какое время наполнится водой бассейн через четыре трубы?
Обозначим a, b, c и d — части объёма бассейна, которые заполняют за минуту первая, вторая, третья и четвёртая трубы соответственно. Составим три уравнения:
a + b + c = 1/12,
b + c + d = 1/15,
a + d = 1/20.
Нам требуется найти a + b + c + d. Заметим, что в левой части трёх уравнений каждая буква встречается по два раза. Сложим три уравнения:
2a + 2b + 2c + 2d = 1/5,
значит, a + b + c + d = 1/10, то есть за минуту четыре трубы наполняют 1/10 бассейна, тогда весь бассейн они наполнят за 10 минут.
Ответ. За 10 минут.
Заметим, что в этом решении мы не решали уравнений или систему уравнений, а работали с верными числовыми равенствами, в которых буквами заменены неизвестные пока числа.
Рассмотрим теперь сложные задачи на совместную работу, в которых изменяется объём выполняемой работы.
4. Первая труба наполняет бассейн за 20 ч. Если бассейн полон, и первая труба продолжает его наполнять, то вторая труба опорожнит бассейн за 5 ч, а третья — за 4 ч. За сколько часов вторая и третья трубы при совместной работе опорожнят бассейн, если бассейн полон, и первая труба продолжает его наполнять?
Примем объём воды в бассейне за 1. Первая труба за час наполняет
1 : 20 = 1/20 бассейна.
Пусть при полном бассейне и при работающей первой трубе вторая труба в час опорожняет часть бассейна, которую мы обозначим a. Составим уравнение:
5a = 1 + 5/20,
a = 1/4.
Пусть при полном бассейне и при работающей первой трубе третья труба в час опорожняет часть бассейна, которую мы обозначим b. Составим уравнение:
4b = 1 + 4/20,
b = 3/10.
При полном бассейне и при работающей первой трубе вторая и третья трубы в час опорожняют 1/4 + 3/10 = 11/20 бассейна.
Две трубы за час опорожняют 11/20 бассейна, а первая труба наполняет бассейн
на 1/20 за это время. Следовательно, при совместной работе трёх труб за час
опорожняется 11/20 – 1/20 = 10/20 = 1/2 бассейна.
Три трубы опорожнят бассейн за 2 ч.
Ответ. За 2 ч.
5. Трава на лугу растёт равномерно. Если на луг выпустить козу, то она съест траву за 60 дней. Если на луг выпустить корову, то она съест траву за 30 дней. Если же на луг выпустить и козу, и корову, то они съедят всю траву за 10 дней. Через сколько дней запас травы на лугу удвоится, если не пускать на луг ни козу, ни корову?
Источник. https://www.shevkin.ru/novosti/zadachi-na-protsenty-pro-kozu-i-korovu/
Примем первоначальный запас травы на лугу за 1. Требуется определить, через сколько дней запас травы на лугу увеличится на 1, если не пускать на луг ни козу, ни корову.
Пусть корова за день съедает часть первоначального запаса травы, которую мы обозначим a, коза съедает в день часть первоначального запаса травы, которую мы обозначим b, а в день вырастает часть первоначального запаса травы, которую мы обозначим с. Составим три уравнения:
30a = 1 + 30c,
60b = 1 + 60c,
10(a + b) = 1 + 10с.
Из двух первых уравнений выразим 10(a + b):
10a = 1/3 + 10c,
10b = 1/6 + 10c,
10(a + b) = 1/2 + 20с.
Полученный результат подставим в третье уравнение:
1/2 + 20с = 1 + 10с,
10с = 1/2.
Половина первоначального запаса травы вырастает за 10 дней, значит, первоначальный запас травы вырастает через 20 дней, то есть запас травы удвоится через 20 дней, если на луг не пускать ни козу, ни корову.
Ответ. Через 20 дней.
P. S. Большое спасибо А. Н. за украшение данной заметки хорошей задачей.