Сложные задачи на площадь
На канале Петра Александровича Земскова Математика и фокусы помещена задача под заголовком «Геометрия. Решить задачу китайского пятиклассника».
Прежде чем подступиться к этой задаче, надо решить пару подготовительных задач. Тогда, быть может, читатель решит задачу «китайского пятиклассника» без нашей помощи.
1. На стороне AB параллелограмма ABCD взята точка M. Провели отрезки MC, MD и диагональ BD. Площади трёх треугольников обозначили буквами, как показано на рисунке. Докажите, что a + b = c.
Решение. Площадь каждого из треугольников ABD и CMD равна половине площади параллелограмма. Из равных площадей вычтем поровну, вычтем площадь треугольника MND, получим требуемое равенство a + b = c.
2. На стороне BC параллелограмма ABCD взята точка M, на стороне CD — точка N. Провели отрезки AM, MD, AN и NB. Площади треугольников обозначили буквами, как показано на рисунке. Докажите, что: а) b + g = d + f; б) a + c + h = e.
Решение. а) Площадь каждого из треугольников ABN и AMD равна половине площади параллелограмма. Из равных площадей вычтем поровну, вычтем площадь e, получим требуемое равенство b + g = d + f.
б) Площадь треугольника AMD и сумма площадей треугольников BCN и ADN равны половине площади параллелограмма. Из равных площадей вычтем поровну, вычтем сумму площадей b и g, получим требуемое равенство
a + c + h = e.
Теперь можно приступить к задаче «китайского пятиклассника».
3. На стороне BC, CD и AD параллелограмма ABCD взяты точки M, N и K соответственно. Провели отрезки AM, MK, KC, AN и NB. Площади двух четырёхугольников равны 72 и 79, а двух треугольников – 8 и 10. Найдите площадь треугольника x (см. рис.).
Источник. Геометрия. Решить задачу китайского пятиклассника | Математика и фокусы | Дзен. https://dzen.ru/video/watch/661b6defd3e5ad017407c945
Решение. Площадь треугольника ABN и сумма площадей треугольников ABM и MKC равны половине площади параллелограмма.
Из равных площадей вычтем поровну, вычтем сумму площадей фиолетовых многоугольников, получим равенство:
x + 72 + 8 = 79 + 10,
x = 9.
Ответ. 9.
Насколько такие задачи посильны пятиклассникам — это большой вопрос.