Сложная задача на площади
В продолжение статьи, опубликованной год назад https://dzen.ru/a/Z5ysOXyTT3ITPnVa,
разберём решение сложной задачи на площади.
1. Точки D, E и F отмечены на сторонах AB, BC и AC треугольника ABC так, что CF : FA = 1 : 1, AD : DB = 1 : 2, BE : EC= 1 : 3. При пересечении отрезков AE, BF и CD образовался треугольник, площадь которого равна 6. Найдите площадь треугольника ABC.
Решение. Соединим вершины треугольника площадью 6 с вершинами данного треугольника, как показано на рисунке, и обозначим площади всех полученных треугольников буквами с учётом того, что площади треугольников, прилежащих к сторонам треугольника, относятся как 1 : 1, 1 : 2, 1 : 3.
Теперь, используя пропорциональность площадей, составим систему уравнений:
Система линейных уравнений выглядит громоздко, но имеет «хорошее» решение:
a = 6, b = 6, c = 12, x = 2, y = 3, z = 6.
Площадь треугольника ABC равна 6 + a + b + c + 3x + 4y + 2z = 60.
Ответ. 60.