Решим задачу проще
Рассмотрим решение несложной геометрической задачи по теме «Площади подобных фигур».
1. Внутри равностороннего треугольника ABC провели прямые, параллельные его сторонам и удалённые от сторон на 0,1 высоты этого треугольника. Образовался новый треугольник, а полосы вдоль сторон закрасили. Определите, какую часть площади данного треугольника составляет площадь нового треугольника.
Короткому решению задачи могут помешать «лишние» знания о том, как площадь правильного треугольника и его высота выражаются через сторону треугольника. Этот путь тоже приведёт к правильному ответу, но мы пойдём более коротким путём. Кстати, оцените «на глаз», какой будет ответ: больше, меньше или равен 0,5. Ответ вас удивит.
Решение. Внутри закрашенных полос оказались две части высоты h —
FH = 0,1h и BD = 0,2h, она в два раза больше отрезка DE = 0,1h, так как угол DBE содержит 30°.
Внутри меньшего равностороннего треугольника осталась часть высоты
h – 0,3h = 0,7h, поэтому коэффициент подобия треугольников равен 0,7, а отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия и равно 0,49.
Ответ. 0,49.
Задача для устного решения.
2. Внутри квадрата провели прямые, параллельные его сторонам и удалённые от сторон на 0,1 стороны квадрата. Образовался новый квадрат, а полосы вдоль сторон закрасили. Определите, какую часть площади данного квадрата составляет площадь нового квадрата.