Решим ужасную китайскую задачу почти без вычислений
Рассмотрим решение задачи, для которой на канале Валерия Казакова приведены два способа решения. Это полезно посмотреть по ссылке. А мы обсудим третий способ решения задачи с дополнительными построениями и с минимальными вычислениями. Итак, задача.
1. В квадрате ABCD точка E – середина стороны AD, точка F – середина стороны AB. Диагонали квадрата пересекают отрезки CE и DF в точках M, N, P, K, как показано на рисунке. Площадь четырёхугольника MNPK равна 1. Найдите площадь квадрата ABCD.
Источник. Китайский ужас! Переводной экзамен из 8 кл. | Наглядная геометрия | Дзен
Приведём ещё один способ решения задачи.
Решение. Треугольники ADF и DCE равны по двум катетам (AD = CD и AF = DE), следовательно, углы ADF и DCE равны. В треугольнике CDE сумма углов C и E равна 90°, следовательно, в треугольнике DKE сумма углов D и E равна 90°, а угол K прямой.
Через точки A, B, C проведём прямые, параллельные FD, сторона CD разделится пополам. Через точки A, B, D проведём прямые, параллельные CE, сторона BC разделится пополам.
В результате наших построений образовалось 8 прямоугольных треугольников, равных треугольнику DKE, и пять квадратов, один из которых составлен из четырёх четырёхугольников, равных четырёхугольнику MNPK, площадь которого равна 1. Площадь центрального квадрата равна 4, а cумма площадей пяти квадратов равна 5 ∙ 4 = 20.
Из равенства площадей восьми прямоугольных треугольников, один из которых DKE, следует, что площадь квадрата ABCD равна сумме площадей пяти квадратов, то есть равна 20.
Ответ. 20.