Решим «секретную» задачу ЕГЭ 2026 ещё двумя способами
Сразу оговоримся, что секрета тут никакого нет, речь пойдёт о задаче из ОГЭ, что ясно из комментария ведущего канала Валерия Казакова: 90% девятиклассников задачу не решили. Здесь, скорее всего, допущена досадная опечатка. Задача дана под заголовком Секретная задача из ЕГЭ 2026! Мало кто решит… Итак, задача.
1. На стороне CD квадрата ABCD построили полуокружность с центром O. Из точки B провели к ней касательную, которая пересекла в точке M сторону AD квадрата. Площадь треугольника ABM равна 12. Найдите площадь квадрата.
Заключительный кадр решения выглядит так.
Источник. Секретная задача из ЕГЭ 2026! Мало кто решит… | Наглядная Геометрия | Дзен https://dzen.ru/video/watch/6a1704966984f303086cfc77
Валерий Казаков показал интересный приём решения задачи с применением свойства касательных, проведённых к окружности из одной точки, теоремы Пифагора и преобразования выражений с двумя неизвестными. Показанный приём решения полезно посмотреть по ссылке.
А мы пойдём другим путём. Покажем два способа решения, с меньшим числом шагов.
Решение. Соединим центр окружности O с точками B, M и точкой K касания BM с полуокружностью. Углы CBK и DOK острые, их стороны взаимно перпендикулярны, эти углы равны. А так как центр окружности, вписанной в каждый из этих углов, лежит на биссектрисе угла, то равны и половины этих углов – углы MOD и CBO.
Тогда прямоугольные треугольниках MOD и CBO подобны по двум углам. Отношение большего катета к меньшему в этих треугольниках равно 2 : 1. Следовательно, MD составляет половину радиуса OD или четверть стороны AD квадрата. Тогда AM – 3/4 стороны квадрата, а площадь треугольника ABM, равная 12, составляет 3/8 площади квадрата. Площадь квадрата равна 12 : 3 ∙ 8 = 32.
Второй способ. Биссектрисы BO и MO двух односторонних углов при параллельных BC и AD и секущей BM перпендикулярны, поэтому угол BOM прямой. Высота прямоугольного треугольника BOM, проведённая к гипотенузе, делит его на два подобных треугольника.
Поскольку радиус OK в 2 раза меньше стороны квадрата, то равные касательные MK и MD составляют половину радиуса или четверть стороны квадрата. Тогда AM составляет 3/4 стороны квадрата, а площадь треугольника ABM, равная 12, составляет 3/8 площади квадрата. Площадь квадрата равна 12 : 3 ∙ 8 = 32.
Ответ. 32.
Мы не использовали теорему Пифагора и преобразование буквенных выражений.