Решим-ка мы задачу с помощью свойства касательных
Рассмотрим задачу, предложенную на канале Наглядная геометрия под заголовком Непростая задача! Работает алгебра!
1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10, а площадь 11. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
Решение, показанное ведущим канала, в заключительном кадре выглядит так.
Источник. Непростая задача! Работает алгебра! | Наглядная геометрия | Дзен https://dzen.ru/video/watch/67ac2090f2e6e64df166240e
Рассмотрим другой способ решения, совпадающий в начале со способом, предложенным Валерием Казаковым. Мы обойдёмся без полупериметра, формулы для радиуса прямоугольного треугольника и без квадратного уравнения.
Решение. Сначала обозначим катеты треугольника a и b и по условиям задачи составим ту же систему:
Теперь обозначим равные касательные, проведённые к окружности из вершин треугольника, как показано на рисунке.
Сумма двух катетов равна r + 10 – x + x + r = 2r + 10 и равна 12, как мы доказали выше. Составим уравнение:
2r + 10 = 12,
r= 1.
Ответ. 1.
Кроме свойства касательной, формулы площади прямоугольного треугольника и теоремы Пифагора мы применили совет: «Не бойтесь вводить «лишние» буквы!». Мы ввели буквы a, b, r и x, а нашли значение только той буквы, которое требуется для получения ответа. Остальные буквы нам в этом помогли, а находить их значения не требовалось, а в некоторых задачах их и невозможно найти.