Решим-ка мы задачу методом Удодова-старшего
Очень обстоятельный ведущий канала Думай логически! обычно даёт подробный разбор решений математических задач с грамотным пояснением — без популярного у блогеров «вот это равно вот этому» или «зелёный треугольничек равен красному».
Ничуть не возражая против его способа решения задачи, покажем, что иногда более удачный выбор дополнительного построения резко сокращает её решение. Итак, задача.
1. В треугольнике ABC точку E, лежащую на стороне AC, соединили с вершиной B. Отрезок BE разделил медиану AD в отношении m : n, считая от вершины. Требуется найти отношение BK : KE.
Авторское решение получилось после дополнительного построения, показанного на следующем рисунке.
Далее были другие дополнительные построения и долгие вычисления. А это заключительный кадр решения задачи.
Источник. Думай логически! Медиана и отрезок, делящий её в заданном отношении.
https://ya.ru/video/preview/15266119984535480044
В авторском решении прямая DH проведена параллельно BE… А мы решим задачу «по-нашему, по-неучёному», мы пойдём другим путём…
Решение. Проведём прямую DM параллельно AC, M лежит на отрезке BE.
Из подобия треугольников AEK и DMK (по двум углам) следует, что
EK : KM = m : n, обозначим длины отрезков: EK = mx, KM = nx.
Из теоремы Фалеса для угла CBE следует, что MB = EM = EK + KM = mx + nx.
Тогда BK = nx + mx+ nx = mx + 2nx, а искомое отношение BK : KE равно
(mx + 2nx) : mx = (m + 2n) : m.
Ответ. (m + 2n) : m.
Подчеркнём главную идею упрощения решения задачи. Если мы ищем, в каком отношении разделён отрезок BE, то надо попробовать провести прямую, пересекающую этот отрезок в какой-то точке, и посмотреть, что при этом получится.
Упрощение решения получилось заметное, особенно если обратить внимание на количество шагов в дополнительных построениях и взглянуть на заключительный кадр авторского решения.