Решим-ка мы эту задачу «по-нашему, по-неучёному»
На канале Валерия Казакова Наглядная геометрия помещена задача под заголовком «Задача-бомба! Решают филологи».
1. Стороны CD и EF правильного шестиугольника ABCDEF продлили до пересечения в точке K. Отрезок AK пересекает DE в точке P. Найдите площадь пятиугольника ABCDP, если площадь четырёхугольника APEF равна 5.
Решение, показанное ведущим канала, в заключительном кадре выглядит так.
Источник. Задача-бомба! Решают филологи | Наглядная геометрия | Дзен. https://dzen.ru/video/watch/6847e65688161103510ad02b
Мы, конечно, не филологи. Решим-ка мы эту задачу чуть экономнее, «по-нашему, по-неучёному», как говаривал Удодов-старший из рассказа А. П. Чехова «Репетитор».
Решение задачи можно немного упростить, если сделать другое дополнительное построение.
Решение. Пусть M — точка пересечения прямых AB и EF, а N — точка пересечения прямых BK и DE. Треугольник AMF — правильный, обозначим его площадь S, тогда площадь правильного шестиугольника равна 6S.
Так как AM = AB, то площади треугольников AMK и ABK равны. Прямая DE отсекает от этих треугольников равновеликие треугольники, подобные треугольникам AMK и ABK, поэтому площади трапеций ABNP и APEM равны и равны S + 5.
Так как площадь четырёхугольника BCDN тоже равна 5, то составим уравнение:
6S = S + 15,
S = 3.
Тогда площадь пятиугольника ABCDP равна 5 + S + 5 = 13.
Ответ. 13.
В данном решении мы использовали меньше вычислений, более экономное решение получилось за счёт удачного дополнительного построения.