Решим-ка мы эту задачу, используя одну формулу
На канале Валерия Казакова Наглядная геометрия разобрано решение задачи под заголовком «ГОСТ. Геометрическое решение за 2 минуты».
1. Дан прямоугольный треугольник ABC, в него вписана окружность радиуса 6. Найдите длину гипотенузы AB, если площадь треугольника равна 210.
Решение, показанное ведущим канала, в заключительном кадре выглядит так.
Источник. ГОСТ. Геометрическое решение за 2 минуты | Наглядная геометрия | Дзен https://dzen.ru/video/watch/68bfc1257256712c04296171
Здесь данный треугольник разбит на несколько фигур, для площадей которых составлено равенство, приводящее к нужному выводу. Хорошее решение на 2 минуты, но задачу можно решить за 1 минуту, если воспользоваться формулой, выражающей площадь треугольника через его полупериметр и радиус вписанной окружности.
Решение. Проведём радиусы в точки касания окружности со сторонами треугольника. Они перпендикулярны сторонам треугольника. Две касательные являются сторонами квадрата, их длины равны радиусу окружности. Обозначим длины равных касательных к окружности, выходящих их вершин A и B буквами a и b соответственно. Тогда полупериметр данного треугольника равен a + b + 6.
А площадь треугольника (210) равна произведению полупериметра и радиуса вписанной окружности. Составим уравнение:
6(a + b + 6) = 210,
a + b = 29.
Мы нашли длину гипотенузы.
Ответ. 29.
Получилось немного проще, так как мы воспользовались одной известной учащимся формулой.