Решим-ка мы эту задачу, используя более ранние теоремы
На канале Валерия Казакова Наглядная геометрия разобрано решение задачи под интригующим заголовком «Удивительная задача! Устное решение!»
1. Через вершину A квадрата ABCD провели прямую, затем проведём перпендикуляры к этой прямой из остальных вершин квадрата. Длины перпендикуляров BH и DF равны 4 и 3 соответственно. Найдите длину перпендикуляра CM.
Решение, показанное ведущим канала, в заключительном кадре выглядит так.
Источник. Удивительная задача! Устное решение! | Наглядная геометрия | Дзен https://dzen.ru/video/watch/68b14197566b2d24b078b83c
Здесь использованы свойство диагоналей квадрата, теорема Фалеса, теорема о средней линии треугольника, без которых можно обойтись. Рассмотрим решение задачи, понятное учащимся, ещё не изучавшим этих вопросов в 8 классе, то есть решим задачу, используя более ранние теоремы.
Решение. Перпендикуляры BH, CM и DF, проведённые к одной прямой, параллельны. Углы BCP и ADF равны как острые углы с соответственно параллельными сторонами. Следовательно, прямоугольные треугольники BCP и ADF равны по гипотенузе и острому углу, CP = DF = 3.
В четырёхугольнике BPMH противоположные стороны попарно параллельны и все углы прямые, этот четырёхугольник является прямоугольником, его противоположные стороны PM и BH равны и равны 4.
Тогда CM = CP + PM = 3 + 4 = 7.
Ответ. 7.
Получилось не сильно длиннее, но использовано меньше теоретических фактов, изучаемых в 8 классе.
В конце ролика Валерий Казаков предложил задачу, которую он назвал настоящей олимпиадной. Вот её условия.
2. Прямая пересекает две соседние стороны прямоугольника. Из вершин прямоугольника провели перпендикуляры к этой прямой. Докажите, что наибольшая длина перпендикуляра равна сумме длин остальных перпендикуляров.
Обсудим план решения этой задачи. Обозначим данный прямоугольник ABCD (см. рис.).
Через вершину B проведём прямую, параллельную данной. Продлим три перпендикуляра до пересечения с построенной прямой, увеличив их длины на b. Для решения этой задачи надо выполнить похожие рассуждения, доказать, что треугольники ADP и BCZ равны, тогда DP = CZ = c + b. Далее доказать, что APYX — прямоугольник, тогда AX = PY = a + b.
Составим уравнение, учитывая, что DY = d + b:
DY = DP + PY,
d + b = c + b + a + b,
d = a + b + c, что и требовалось доказать.