Решим-ка мы эту задачу «бесподобно»
На канале Валерия Казакова Наглядная геометрия разобрано решение задачи под заголовком «Школьная олимпиада для 9 класса. Вам понравится!»
1. Дана прямоугольная трапеция ABCD, боковая сторона AB равна 15, меньшее основание BC равно 7. Окружность, центр которой лежит на большем основании AD, проходит через точки A, B, C. Найдите радиус этой окружности.
Решение, показанное ведущим канала, в заключительном кадре выглядит так.
Источник. Школьная олимпиада для 9 класса. Вам понравится! | Наглядная геометрия | Дзен https://dzen.ru/video/watch/68c8ee42d7f5c938fcc40041
Здесь для составления уравнения относительно R использовано подобие треугольников. Но решение упростится, если сделать более простое дополнительное построение и два раза применить теорему Пифагора. Решим задачу «бесподобно» — без подобия треугольников.
Решение. В трапеции ABCD проведём высоту BM. Соединим центр окружности O с точками B и C. Длины отрезков OA, OB и OC равны радиусу окружности, который обозначим буквой R.
Два прямоугольных треугольника OBM и OCD равны по катету (высота прямоугольной трапеции равна меньшей боковой стороне) и гипотенузе (равные радиусы). Следовательно, OM = OD = 0,5BC = 3,5.
Выразим квадрат высоты трапеции двумя способами из треугольников ABM и OBM:
Мы пришли к тому же квадратному уравнению, имеющему единственный положительный корень 12,5.
Ответ. 12,5.
Ответ получен с использованием меньшего числа теоретических фактов и с меньшими дополнительными построениями.