Решим эту задачу «бесподобно»
Рассмотрим решение геометрической задачи, которая на канале Валерия Казакова решена с использованием подобия треугольников. Задача дана под заголовком «Для 100-баллников. Задача-тренажёр». Итак, задача.
1. Точка M — середина стороны AB квадрата ABCD. Точка K делит сторону AD в отношении AK : KD = 2 : 1. Отрезки BK и CM пересекаются в точке P. Найдите площадь четырёхугольника PCDK, если сторона квадрата равна 12.
Заключительный кадр решения выглядит так.
Источник. Для 100-баллников. Задача-тренажёр | Наглядная Геометрия | Дзен https://dzen.ru/video/watch/682c130d89f8c604e585f7a7
Валерий Казаков показал, как эту задачу можно решить, применяя подобие треугольников, а мы решим эту задачу «бесподобно», то есть без признаков подобия.
Решение. Через точку D и середину N стороны CD проведём прямые, параллельные отрезку BK. В параллелограмме BEDK BE = DK = AD/3. По теореме Фалеса из равенства CN = CD следует равенство EF = FC.
Тогда BE = EF = FC и отрезок PC разделён на три равные части.
Из равенства LK = KD следует равенство MP = PR, это означает, что отрезок MC разделён на 4 равные части и площадь треугольника BMP составляет 1/4 площади треугольника BCM.
Площадь треугольника BCM равна 12*6/2 = 36. Площадь треугольника BMP равна 36 : 4 = 9, площадь треугольника BPC равна 36 – 9 = 27.
Площадь треугольника ABK равна 12*8/2 = 48. Тогда искомая площадь равна 12*12 – 48 – 27 = 69.
Ответ. 69.
Использование теоремы Фалеса в задачах на площади часто упрощает их решения.