Решим и эту задачу бесподобно
Рассмотрим решение геометрической задачи, которая на канале Валерия Казакова решена с использованием подобия треугольников. Задача дана под заголовком «Задача для нормальных пацанов!». Итак, задача.
1. Дан прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB = 5 и катетом AC = 3. На катете BC выбрали точку O — центр окружности, проходящей через точки A и B. Найдите радиус окружности.
Заключительный кадр решения выглядит так.
Источник. Задача для нормальных пацанов! | Наглядная Геометрия | Дзен https://dzen.ru/video/watch/68db6af3678c812b91397069
Валерий Казаков показал, как эту задачу можно решить, применяя подобие треугольников, а мы решим эту задачу «бесподобно», то есть без признаков подобия.
Решение. Катет BC найдём по теореме Пифагора, он равен 4. Проведём радиус OA, обозначим его длину R. CO = 4 – R.
Составим уравнение по теореме Пифагора для треугольника AOC:
Использование теоремы Пифагора (два раза) и более простое построение упрощают решение задачи.
Дополнение. После публикации заметки в Интернете автор этих строк получил от внимательного читателя по почте ещё одно решение, основанное на свойстве пересекающихся хорд.
Диаметр BE перпендикулярен хорде AF и делит её пополам, поэтому CF = 3. CB = 4 (по теореме Пифагора).
По свойству пересекающихся хорд:
AC ∙ CF = CE ∙ CB,
3 ∙ 3 = CE ∙ 4,
откуда получаем CE = 9/4.
Тогда радиус окружности равен BE : 2 = (4 + 9/4) : 2 = 25/8.
И последнее замечание. Оба решения, разумеется, опираются на подобие треугольников, так как и теорема Пифагора, и свойство пересекающихся хорд доказываются при помощи подобия треугольников. Называя оба решения «бесподобными», мы имели в виду, что в процессе решения задачи не рассматриваются подобные треугольники.
Спасибо внимательному читателю за украшение заметки.