Решайте задачи проще, с помощью дополнительного построения
С новым годом, с новыми задачами! Нет, задача не новая, опубликована у известного блогера три месяца назад, но решение у него оказалось сложным. Задачу можно решить проще.
1. Две стороны равнобедренных треугольников имеют общую вершину и лежат на одной прямой, как показано на рисунке, две другие боковые стороны этих треугольников параллельны. Найдите угол между основаниями этих треугольников.
Авторское решение можно посмотреть по ссылке:
https://ya.ru/video/preview/17400037982985705152
Оно заканчивается таким кадром.
Давайте решим задачу проще.
Решение. Биссектрисы внутренних односторонних углов при параллельных прямых перпендикулярны, а ещё они являются высотами данных треугольников, проведёнными к их основаниям. Проведём эти биссектрисы (высоты) и получим четырёхугольник с тремя прямыми углами, четвёртый угол, который мы ищем, тоже прямой.
Задача решена.
Ответ. 90°.
Неплохая иллюстрация к совету «Сделайте дополнительное построение».
А вот ещё задача у того же блогера.
2. В прямоугольном треугольнике с катетом, равным 2, проведена биссектриса острого угла, прилежащего к этому катету. Эта биссектриса делит второй катет данного треугольника на отрезки, меньший из которых равен 1. Найдите больший отрезок второго катета.
Авторское решение можно посмотреть по ссылке:
https://dzen.ru/video/watch/66fe5462867f1c7cc8ee3232
Оно заканчивается итоговым кадром.
Может быть, эту задачу в Китае дают старшеклассникам, знающим тригонометрию, а мы решим задачу без тригонометрии и опять с дополнительным построением.
Решение. Из основания биссектрисы проведём перпендикуляр к гипотенузе данного треугольника. Получим два прямоугольных треугольника с катетами 1 и 2 (они равны по гипотенузе и острому углу. Гипотенуза третьего прямоугольного треугольника обозначена через x, x > 1, так как гипотенуза больше катета.
Это уравнение имеет два корня 1 и 5/3, из которых только 5/3 больше 1.
Ответ. 5/3.
И опять нам помогло дополнительное построение.