Решайте задачи на площади проще
Рассмотрим решение задачи, которая на канале Валерия Казакова решена с помощью теоремы Фалеса. Задача дана под заголовком «Экзамен 9. Предложи свой способ!». Итак, задача.
1. В треугольнике ABC провели медиану CM. Продолжение медианы AK треугольника AMC пересекает BC в точке P. Найдите площадь треугольника ABC, если площадь четырёхугольника MBPK равна 10.
Заключительный кадр решения выглядит так.
Источник. Экзамен 9. Предложи свой способ! | Наглядная геометрия | Дзен
Решения похожих задач мы уже разбирали на канале. Все они решаются одним и тем же приёмом.
Решение. Проведём отрезок BK.
Медиана KM делит треугольник ABK на два равновеликих треугольника, площади которых обозначим x. Медиана AK треугольника AMC делит его на два равновеликих треугольника, площади которых равны x. Площади треугольников AMC и BMC равны 2x, а треугольника ABC — 4x, её нам предстоит найти.
Площади треугольников BKP и CKP равны соответственно 10 – x и 2x – 10. По свойству площадей S(ABK) : S(ACK) = S(BKP) : S(CKP), или
2x : x = (10 – x) : (2x – 10).
Решив эту пропорцию, получим x = 6, тогда искомая площадь 4x = 24.
Ответ. 24.
Применённое свойство площадей обсуждалось в заметке Замечательное свойство площадей https://dzen.ru/a/Z5ysOXyTT3ITPnVa