Применим чуть больше алгебры в решении геометрических задач
Рассмотрим решения трёх задач, геометрические решения которых подробно и интересно разобрал Валерий Казаков на своём канале. Это полезно посмотреть по ссылкам. А мы обсудим алгебраические способы решения тех же задач, то есть такие способы, в которых большую роль играет умение составлять и решать уравнения.
1. В квадрат ABCD вписан равносторонний треугольник AMN, как показано на рисунке. Сторона треугольника равна 4. Найдите площадь квадрата.
Источник. Равносторонний [треугольник] и квадрат! Что может быть проще? | Наглядная Геометрия | Дзен https://dzen.ru/video/watch/67eb810a853aae79dc01e1f4
Решение. Обозначим сторону квадрата x. Треугольники ABM и ADN равны по гипотенузе и катету. Следовательно, прямоугольный треугольник MCN является равнобедренным с гипотенузой 4.
2. Два квадрата касаются сторонами, а две другие их стороны лежат на одной прямой. На этой прямой выбрана точка, равноудалённая от вершин квадрата, как показано на рисунке. Найдите расстояние от этой точки до вершин квадратов, если сумма площадей квадратов равна 9.
Источник. Лучшая задача года! | Наглядная геометрия | Дзен
Решение. Обозначим сторону большего квадрата a, меньшего — b, расстояние от данной точки до ближайшей вершины малого квадрата — t.
Вычислим квадрат искомого отрезка двумя способами и приравняем полученные результаты:
3. Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C, AK — его биссектриса. Окружность, описанная около треугольника ACK, вторично пересекает гипотенузу AB в точке P. Найдите площадь треугольника, если
AP = 6, KB = 5.
Источник. Олимпиада Лондона! 2025, 9 кл. | Наглядная Геометрия | Дзен https://dzen.ru/video/watch/67ebaff5d05be66188e08e23
Решение. Соединим отрезком точки K и P. Так как AK — биссектриса, то дуги CK и KP, а также хорды CK и KP равны.
Так как угол ACK прямой, то AK — диаметр окружности, тогда и угол APK прямой. Треугольники ACK и APK равны по гипотенузе и катету, AC = AP = 6. Обозначим CK = KP = x. В треугольнике KBP по теореме Пифагора найдем:
