Отношения отрезков и площадей треугольников
В заметке Праздничные задачи по геометрии были выложены две задачи, к обсуждению решений которых мы возвращаемся. В конце добавим решение одной олимпиадной задачи.
1. Средняя линия MN треугольника ABC равна 5. На стороне BC, параллельной MN, выбрали точку K, такую, что MK = 4, KN = 3. Найдите площадь треугольника ABC.
Сначала с помощью средней линии треугольника найдём его основание: BC = 10. Осталось найти высоту треугольника, проведённую к этому основанию.
Напомним полезный факт. Если на стороне AC треугольника ABC выбрали точку M, а на отрезке BM — точку O, то отношение площадей треугольников AMO и CMO равно отношению площадей треугольников ABO и CBO равно AM : MC.
Проведём из точек A и C перпендикуляры AN и CK к прямой BM. Отношение площадей треугольников AMO и CMO равно отношению площадей треугольников ABO и CBO и равно AN : CK. А отношение AN : CK равно отношению AM : MC, что следует из подобия треугольников ANM и CKM (по двум углам).
Обозначим площади пяти треугольников, как показано на рисунке.
А теперь рассмотрим решение олимпиадной задачи из заметки Убойная олимпиадная задача по математике из США. Поломайте голову. Мы чуть упростим решение, приведённое в заметке, но сначала напомним факт, который будем использовать.
