Неожиданный результат
Рассмотрим решение задачи, составленной для статьи «Свойство касательных к окружности вам в помощь!».
1. В квадрате со стороной 1 провели диагональ, получили два прямоугольных треугольника. В один из них вписали окружность, в другом провели биссектрису прямого угла, получили два прямоугольных треугольника. В один из них вписали окружность, в другом провели биссектрису прямого угла, получили два прямоугольных треугольника и т. д. Найдите сумму длин бесконечного числа радиусов полученных окружностей.
Решение. Сначала найдём радиус первой построенной окружности. Пусть M и N – точки касания этой окружности со сторонами AB и BC соответственно, O – центр квадрата, первая окружность касается диагонали квадрата в этой точке.
По свойству касательных к окружности, проведённых их одной точки, BM = MN = r,
где r – радиус первой окружности.
Тогда по тому же свойству AM = AO = CN = CO = 1 – r. Диагональ квадрата равна 2 – 2r, а её длина известна, составим уравнение:
