Необычный способ решения задачи 25 из ОГЭ
На просторах Интернета встретилась задача с корявыми числовыми данными, в которой много чего можно вычислить с большим трудом и без всякой пользы, пока не придёт идея решения задачи. А она здесь необычная. Будем пользоваться тем же советом: «Не бойтесь вводить лишние буквы!». Итак, задача.
25. В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 25, 17 и 7. Найдите площадь параллелограмма ABCD.
Источник. https://dzen.ru/a/Z-uh8lHnrFu1QMgf?ysclid=m95x0om0bm674007300
Числовые данные здесь немилосердные. Но идея решения необычная, она избавит от лишних вычислений.
Решение. Обозначим две касательные к окружности из точки B за x, из точки C — за y.
Касательные к окружности из точки A вычислим по теореме Пифагора из треугольника AOH: 24. Тогда полупериметр треугольника ABC равен x + y + 24, а площадь — 7(x + y + 24) = 7(x + y) + 168. Площадь параллелограмма в 2 раза больше — 14(x + y)+ 336.
Теперь вычислим площадь параллелограмма другим способом. Высота параллелограмма равна
17 + 7 = 24, а основание x + y. Площадь параллелограмма равна 24(x + y). Приравняем полученные результаты:
24(x + y) = 14(x + y)+ 336,
10(x + y) = 336,
x +y = 33,6.
А теперь вычислим площадь параллелограмма:
24(x + y) = 24*33,6 = 806,4.
Ответ. 806,4.
Тут главное не пуститься в вычисление всего, что можно вычислить. На это уйдёт много времени и без толку.