Нельзя ли задачу решить проще, «Ёж – математик»?
Рассмотрим задачу, разбор решения которой показан на видео. Сайт «Ёж – математик». Привожу заключительный кадр решения.
Источник. Задание 24 (часть 2) | ОГЭ 2023 Математика | Геометрические задачи на доказательство — YouTube
Из названия заметки понятно, что задачу можно решить проще.
В самом деле, точка P лежит на биссектрисе угла D, следовательно, она равноудалена от сторон этого угла, а значит, и от прямых AD и CD. Аналогично точка P лежит на биссектрисе угла C, следовательно, она равноудалена от сторон этого угла, а значит, и от прямых CD и BC. Тогда она одинаково удалена от прямых AD, CD и BC, что и требовалось доказать.
В решении задачи мы пользовались доказанной в любом школьном учебнике теоремой о свойстве точки, лежащей на биссектрисе угла (7 класс). Эту теорему на видео нам доказали аж два раза — зачем?
Надо обязательно отметить, что в задаче не сказано, что C и D — концы боковой стороны трапеции. Они могли быть концами одного из оснований. И задача решалась так же просто.
Более того, точка P могла бы не лежать на стороне AB, а лежать внутри или вне трапеции. Результат был бы тот же. Попробуйте это доказать.
Пропустим задания 10 и 11, в которых присутствуют лишь речевые неточности. Рассмотрим задачу 12.
Задача решена с помощью двух пар подобных треугольников, тогда как можно поступить проще.
Построим окружность с диаметром AB. Основания двух высот AA1 и BB1 лежат на этой окружности, тогда искомые углы равны, как вписанные в одну окружность и опирающиеся на одну и ту же дугу AB1, что и требовалось доказать.
В задаче 13 можно использовать тот же приём — построить вспомогательную окружность с диаметром AB.
В порядке заключения можно отметить, что для предпоследней задачи на доказательство на ОГЭ — слабовато будет. Падает уровень сложности, организаторам ОГЭ надо много хороших результатов? Но это плохой ориентир для сильных школьников.
Спасибо, что дочитали.