Не так страшны параметры, как некоторым кажется
Среди задач на параметры, предлагаемых для подготовки к ЕГЭ, появились задачи аж с пятью параметрами и двумя модулями. Разберём решение одной из них, чтобы показать, что не так страшен чёрт, как его малюют.
11. На рисунке изображён график функции
f (x) = |ax + b| + |cx + d| – r. (1)
Найдите |ac|.
Решение. Прежде всего заметим, что для получения ответа не требуется находить все значения параметров. Кроме того, два первых модуля можно поменять местами и функция не изменится, это означает, что можно поменять местами a и c, b и d, поэтому можно без нарушения общности считать, что вершина ломаной (–3; –2) соответствует первому слагаемому, которое обращается в нуль при x= –b/a, а вторая вершина (1; 2) соответствует второму слагаемому, которое обращается в нуль при x = –d/c.
Итак, будем считать, что –b/a = –3, а –d/c = 1, то есть b = 3a, а d = –c. Подставим полученные значения в формулу (1):
f (x) = |ax + 3a| + |cx – c| – r. (2)
Координаты точек (–4; 0), (0; 1) и (2; 4) графика функции с участков с разным наклоном звеньев к оси абсцисс подставим в равенство (2):
|a| + 5|c| – r = 0,
3|a| + |c| – r = 1,
5|a| + |c| – r = 4.
Мы получили систему трёх уравнений с неизвестными |a|, |c| и r. Чтобы получить ответ |ac| = |a| ∙ |c|, нам достаточно найти значения неизвестных |a| и |c|.
Вычитая из третьего уравнения первое, получим:
4|a| – 4|c| = 4,
|c| = |a|– 1.
Вычитая из третьего уравнения второе, получим:
2|a| = 3,
|a| = 1,5.
Тогда |c| = 1,5 – 1 = 0,5, а |ac| = 1,5 ∙ 0,5 = 0,75.
Ответ. 0,75.