Не бойтесь вводить «лишние» буквы, или Применяйте подобие треугольников

16.01.2024

Рассмотрим задачу по геометрии из сборника «10 вариантов» для подготовки к ОГЭ-2024 [1]. Задача сложная, но имеет простое решение. На её примере покажем ещё раз применение метода, который в шутку можно назвать «Не бойтесь вводить «лишние» буквы».

Его применению посвящены несколько статей на канале Наблюдатель (Дзен) и на сайте www.shevkin.ru. Лишних букв у нас не будет, мы введём буквенные обозначения, а потом вдруг окажется, что искать значения введённых букв не нужно, так как ответ к задаче легко выражается без этой дополнительной работы.

25. В треугольнике ABC известны длины сторон AB = 30, AC = 100, точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD.

Нарисуем треугольник ABC и описанную около него окружность. Проведём прямую AO и перпендикуляр к ней BE, он пересекает сторону AC в точке D. При этом BE = FE. Требуется найти длину отрезка CD.

А теперь посмотрим, нельзя ли задачу решить проще. Неизвестная сторона AD и известная сторона AB являются сторонами одного треугольника ABD, у которого есть подобный треугольник AСB. У них есть общий угол A и два равных угла ABF и ACB — они равны как вписанные углы одной окружности, опирающиеся на равные дуги AB и AF. Из пропорции AD : AB = AB : AC получим: AD : 30 = 30 : 100, откуда следует, что AB = 9, CD = 100 – 9 = 91.

Используемая литература

1. ОГЭ 2024. Математика. 10 вариантов. Типовые тестовые задания от разработчиков ОГЭ / под ред. И. В. Ященко. – М. : Издательство «Экзамен», 2024.