Найдём площадь четырёхугольника проще
Рассмотрим решение задачи, которую разобрал Валерий Казаков на своём канале, и немного упростим её решение.
1. В прямоугольнике ABCD отметили точки M и K — середины сторон BC и AD соответственно. Отрезки AM и CK пересекают диагональ BD в точках F и P соответственно. Найдите площадь четырёхугольника MCPF, если площадь треугольника ABF равна 6.
Итоговый кадр решения с ответом выглядит так:
Источник. Эту задачу боятся все школьники | Наглядная геометрия. https://dzen.ru/video/watch/67d068ce72346e76ca0d4fe3
Авторское решение потребовало проведения двух отрезков, а мы обойдёмся без дополнительных построений.
Решение. В треугольниках ABF и CDP AB = CD, углы B и D равны как накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD и секущей BD, углы A и С равны как углы с противоположно направленными сторонами. Треугольники ABF и CDP равны по стороне и двум прилежащим к ней углам, значит, равны их площади, и AF = CP.
По теореме Фалеса BF = FP, значит, FM = CP/2 по свойству средней линии треугольника. Тогда FM = AF/2 и площадь треугольника BMF равна половине площади треугольника ABF и равна 3. Площадь треугольника ABM, составляющая четверть площади прямоугольника, равна 6 + 3 = 9. Поэтому треугольника BCD, составляющая половину площади прямоугольника, равна 18. Площадь четырёхугольника MCPF равна 18 – 3 – 6 = 9.
Ответ. 9.