Наблюдательные начинают и выигрывают!
На просторах Интернета встретилась задача для подготовки к ОГЭ по математике, к которой приведены шаги предполагаемого решения. Задача опубликована под заголовком Матвертикаль. ОГЭ. Задание 25. Задача 1.
1. Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 6 и 10, а основание BC равно 1. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.
Источник. Матвертикаль. ОГЭ. Задание 25. Задача 1. https://dzen.ru/a/Z-ugmuRnhX3OJMJY
В источнике не приведено решение задачи, а дан его план, как представляется, не ведущий к быстрому получению ответа.
Даём совет школьнику, готовящемуся к ОГЭ: «Наблюдательные начинают и выигрывают!», не надо бросаться решать задачу, строить планы, сначала надо понаблюдать.
Наблюдение 1. В условии задачи есть биссектриса угла при основании трапеции — надо поискать равнобедренный треугольник, который обычно встречается в задачах на параллелограмм и трапецию, у которых есть параллельные стороны и биссектриса угла при основании.
Наблюдение 2. Есть стороны 6 и 10 — надо поискать прямоугольный треугольник, подобный «египетскому», катеты которого 6 и 8, а гипотенуза 10.
Наблюдение 3. Есть середина боковой стороны — а не провести ли нам среднюю линию?
В задаче оказалось много подсказок. Винни-Пух сказал бы: «Это «ж-ж-ж» неспроста!». Действуем.
Решение. Проведём отрезок CE, параллельный AB, и среднюю линию трапеции MN, CN = ND = 5 (см. рис.).
Угол DMN равен углу MDA как накрест лежащие при параллельных MN и AD и секущей MD, и равен углу MDN. Следовательно, MN = ND = 5. Но MN — средняя линия трапеции, следовательно, (BC + AD) : 2 = 5, откуда получим, что AD = 9.
В параллелограмме ABCE AE = 1, CE= 6, тогда ED = 8. Мы получили треугольник CED со сторонами 6, 8, 10. По теореме, обратной теореме Пифагора, угол CED прямой. Тогда CE — высота трапеции, площадь которой равна произведению MN и CE и равна 5 * 6 = 30.
Ответ. 30.
Если задачу решали сначала на черновике, то в чистовике лучше нарисовать прямоугольную трапецию, но это требование не является обязательным, так как «Искусство геометрии заключается в верных рассуждениях на неверном чертеже».