Наблюдательные начинают и выигрывают
Рассмотрим задачу с популярного канала «Этому не учат в школе». Как утверждает автор канала, её давали на некотором собеседовании.
1. Две прямые, содержащие противоположные стороны квадрата, пересечены третьей прямой. Образовались отрезки длины 2, 5, 3. Определите площадь квадрата.
Решение автора можно посмотреть по ссылке, приведём только последний кадр решения.
Источник. https://dzen.ru/video/watch/674717211a30b41cba294e3a
Ничего не имеем против, можно решать задачу и так, но мы используем эту задачу для обучения школьников наблюдательности, которая иногда помогает найти более простое решение.
Наблюдательный школьник заметит, что в условии есть числа 2, 3, 5, причём 2 + 3 = 5. «Это «ж-ж-ж» неспроста!», — сказал бы Винни-Пух. А нельзя ли выполнить такое дополнительное построение, чтобы получит два равных отрезка длины 5, как-то совместив отрезки длины 2 и 3?
Обозначим вершины квадрата и точки пересечения прямых, как показано на рисунке. Выполним дополнительное построение.
Ответ. 20.
Кажется, получилось чуть короче. Иногда наблюдательные начинают и выигрывают. Давайте рассмотрим ещё одну задачу из другого популярного источника.
2. Найдите площадь треугольника по двум сторонам, равным 6 и 8 и медиане, проведённой к третьей стороне, равной 5.
Автор канала почему-то утверждает, что 90 % задач в геометрии решаются именно его способом, который заканчивается таким заключительным кадром.
Источник. https://dzen.ru/video/watch/66c371de8ef13b0aaf68f22d
Решение. Заметим, что 6 и 8 — катеты треугольника, подобного «египетскому» со сторонами 3, 4, 5. Если бы оказалось, что AC = 10, то треугольник ABC, по теореме, обратной теореме Пифагора, был бы прямоугольным и его площадь была бы равна половине произведения катетов 6 и 8, то есть 24. Проверим нашу гипотезу. Применим совет «Удвой медиану!» и достроим треугольник ABC до параллелограмма ABCD.
По свойству параллелограмма DC = 6, MD = 5, тогда по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник BCD прямоугольный, а значит, наш параллелограмм является прямоугольником. Площадь треугольника ABC равна половине площади прямоугольника со сторонами 6 и 8 и равна 24.
Ответ. 24.
Задача 3,предложенная автором канала для домашнего задания, проще решается не его методом, а с помощью совета «Удвой медиану!».
3. Найдите площадь треугольника по двум сторонам, равным 13 и 15 и медиане, проведённой к третьей стороне, равной 7.
Наблюдательный решатель заметит, что 13 и 15 — стороны треугольника, у которого третья сторона 14, и площадь легко считается по формуле Герона.
А 7 — половина от 14. Это подсказка! Удвоим медиану, достроим треугольник ABC до параллелограмма ABCD.
В треугольнике BCD стороны будут как раз 13, 14 и 15. И площадь этого треугольника равна площади данного треугольника.
Ответ. 84.
Мораль: иногда полезно не спешить с обозначениями и вычислениями, с применениями всех имеющихся знаний, а остановиться и понаблюдать, быть может, какая-то особенность условий задачи или числовых данных подскажет решение задачи. И не забывайте совет «Удвой медиану!».
Желаю успехов в решении геометрических задач. А авторам процитированных каналов спасибо за хорошие задачи и за предоставленную возможность применить наблюдательность.